Qual a relação entre a^b / a^c = a^(b-c) = 1 (com b = c) e A <=> B

[osdeving]

Deixa eu explicar melhor.

\(\forall ({a,b,c}) \mid (b = c \wedge a \neq 0 ) \Rightarrow \frac{a^b}{a^c} = a^{b-c} \Leftrightarrow a^{b-c} = 1 \Leftrightarrow \frac{a^b}{a^c} = 1\)

Para facilitar:

Para qualquer a,b,c tal que b igual c e a diferente de zero implica em \(\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}\) que equivale a \(a^{b-c} = 1\) que equivale a \(\frac{a^b}{a^c} = 1\)

Vamos chamar a proposição acima de uma propriedade da divisão de potências com base igual e chamaremos essa propriedade de A, e vamos elaborar outra proposição.

\(\forall ({a}) \mid (a \neq 0 ) \Rightarrow a^0 = 1\)

Vamos chamar a proposição acima de uma propriedade da potênciação com expoente 0 e chamaremos essa propriedade de B.

Considerando a definição de propriedade temos que uma propriedade pode ser um postulado ou um teorema. Lembremos que um postulado é uma verdade que simplesmente é aceita sem demonstração, é intuitiva. No nosso caso, A e B não são postulados, então, são teoremas. Sendo A e B teoremas, preciso de uma demonstração.

Não vou demonstrar A e B pra não deixar minha pergunta mais prolixa do que já é. No entanto, eu posso afirmar que a demonstração de A exige que B seja verdadeiro, e a demonstração de B exige que A seja verdadeiro.

Colocando de outra forma:

\(A \Leftrightarrow B\)

O uso do símbolo (Equivalência Material), nesse caso, tem um grande problema! O "vai e vem" da proposição acima considera que tanto A quanto B sejam verdadeiro (ou falso, mas para nossos propósitos tem que ser verdadeiro). Aqui é onde mora o problema, nem A nem B é um postulado, são teoremas! Quando tento demonstrar A, em algum momento da demonstração eu considero B como um postulado, e vice-versa.

Ufa! Agora finalmente minha pergunta:

Como demonstrar A sem pressupor que B seja verdadeiro ou como demonstrar B sem pressupor que A seja verdadeiro?

Um amigo meu disse que se B não for verdadeiro eu quebro toda a lógica da álgebra. No entanto, tendo a discordar, porque B não precisa ser verdadeiro no sentido de a^0 = 1, se eu considerar a^0 = 12938293892, também funciona! Enquanto não achar uma resposta, tendo a imaginar que a^0 é uma indeterminação.

[Walter R]

Boa noite.
Tua dificuldade reside no fato de que A e B dizem respeito a uma mesma propriedade, e não a duas, como supões (apenas formalizadas de forma diferente). Partindo de A chegas em B, substituindo b-c por zero, o que é verdade porque b=c. Partindo de B chegas em A porque zero pode ser substituído por b-c, quando b=c.
Em geral, diz-se que \(a^{x+y}= a^x.a^y\) é a propriedade geral, que podemos definir a partir da função logarítmica, pondo \(a^x=e^{x.log a}\). As relações subsequentes são casos particulares, por exemplo:

\(a^0\Rightarrow x=-y\)
Logo, \(a^0=a^{-y}a^y=\frac{a^y}{a^y}=1\)
E
\(a^{-x}\Rightarrow y=0\)
Então, \(a^{-x}=a^{-x+0}=a^{-x}.a^0=\frac{1}{a^x}\)
E também
\(a^{x-y}=a^x.a^{-y}=\frac{a^x}{a^y}\)

[osdeving]

Walter R,

Entendi! Se A e B fazem parte da mesma propriedade faz sentido mesmo, basta demonstrar uma e está tudo resolvido! Agradeço ter identificado de forma precisa meu equívoco, era isso que eu estava procurando, afinal é óbvio que eu estava errado (um mero estudante corroborar um teorema é algo improvável, quiçá impossível). Mas convenhamos, o título da minha questão não faz sentido algum rsrs.