Cortes de Dedekind

[ederaugusto]

Estava acompanhando uma aula de analise onde são tratados os cortes de Dedekind

Um corte é definido como sendo um subconjunto \(A\) de \(\mathbb{Q}\) tal que:

1) \(A \neq \mathbb{Q}\), \(A \neq \emptyset\)

2) se \(p \in A, q \in \mathbb{Q}, q < p\) então \(q \in \mathbb{A}\)

3) se \(p \in A\) então \(p < r\) para algum \(r \in A\)

Ai surgem duas dúvidas:

\(X = \{x \in \mathbb{Q} | x^{2} < 2 \}\) é um corte?

\(\mathbb{Q}_{-}\) (conjunto dos racionais negativos) é um corte?

É falado que a condição 2 obriga o conjunto a ser fechado a esquerda e isso não ficou claro... porque se o intervalo for aberto eu consigo achar um q < p e que ainda seja elemento de A.

O mesmo aconteceria pra \(\mathbb{Q}_{-}\), o que não seria um corte válido, sendo um intervalo aberto a esquerda, entretanto a aula falava que \(\mathbb{Q}_{-}\) é um corte...

não entendi isso... Será que alguém pode me dar uma ajuda?

[Sobolev]

Neste contexto, quando se diz que o conjunto é fechado à esquerda, isto não é dito no sentido da topologia (conjuntos abertos/fechados/etc), quer-se simplesmente dizer que todos os racionais à esquerda de um elemento de A são certamente elementos de A. De facto, o conjunto A não pode ter minorantes.

Nesse sentido, o conjunto X que apresenta não é um corte (por exemplo -1 é elemento do conjunto X mas existem racionais inferiores a -1 que não pertencem a X) mas o conjunto dos racionais negativos é um corte (repare que é importante que não inclua o zero, de modo a poder verificar a terceira condição).