É muito fácil mostrar que o que vc tem quando \(n\to +\infty\) é
\(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}=\frac{1/2}{1-1/2}=1\)
por indução tem aqui um bom exemplo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7 ... ca#Exemplovamos resolver o seu caso
basepara \(n=1\) é válido pois
\(1\leq1\)
passo indutivose é válido para \(n\) ; também é válido para \(n+1\) ???
dando esta expressão como verdade
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}\leq 1\)
será que esta é verdadeira???
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}\leq 1\)
avancemos
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n}2}\leq 1\)
multiplicando tudo por 2
\(\frac{2}{2}+\frac{2}{4}+\frac{2}{8}+...+\frac{2}{2^n}+\frac{1}{2^{n}}\leq 2\)
\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{2}{2^n}+\frac{1}{2^{n}}\leq 2\)
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n.2^{-1}}+\frac{1}{2^{n}}\leq 2-1\)
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^{n}}\leq 1\)
sim, a resposta é sim!
logo prova-se assim por indução matemática que a premissa estava correta