Produtos notáveis
15 mar 2014, 01:30
Uma ajudinha aqui:
Se \(ab=\sqrt{3}\) e \(a^{2}-b^{2}=3\) ,ache o valor da expressão \(L=(\frac{a}{b})^{4}+(\frac{b}{a})^{4}\)
a)13 b)15 c)23 d)33 d)123
Help!!!
Se \(ab=\sqrt{3}\) e \(a^{2}-b^{2}=3\) ,ache o valor da expressão \(L=(\frac{a}{b})^{4}+(\frac{b}{a})^{4}\)
a)13 b)15 c)23 d)33 d)123
Help!!!
Re: Produtos notáveis [resolvida]
15 mar 2014, 14:59
Olá jomatlove,
bom dia!
\(L = \left ( \frac{a}{b} \right )^4 + \left ( \frac{b}{a} \right )^4\)
\(L = \frac{a^4}{b^4} + \frac{b^4}{a^4}\)
\(L = \frac{a^8 + b^8}{a^4b^4}\)
\(L = \frac{(a^8 + 2a^4b^4 + b^8) - 2a^4b^4}{a^4b^4}\)
\(\fbox{L = \frac{(a^4 + b^4)^2 - 2a^4b^4}{a^4b^4}}\)
Da condição I),
\(ab = \sqrt{3}\)
\(\left ( ab \right )^4 = \left ( \sqrt{3} \right )^4\)
\(a^4b^4 = \sqrt{81}\)
\(\fbox{a^4b^4 = 9}\)
Da condição II),
\(a^2 - b^2 = 3\)
\(\left ( a^2 - b^2 \right )^2 = (3)^2\)
\(a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = 9\)
\(a^4 + b^4 = 9 + 2 \cdot (ab)^2\)
\(a^4 + b^4 = 9 + 2 \cdot (\sqrt{3})^2\)
\(\fbox{a^4 + b^4 = 15}\)
Por fim, voltamos a equação inicial...
\(L = \frac{(a^4 + b^4)^2 - 2a^4b^4}{a^4b^4}\)
\(L = \frac{(15)^2 - 2 \cdot 9}{9}\)
\(L = \frac{225 - 18}{9}\)
\(L = \frac{207}{9}\)
\(\fbox{\fbox{L = 23}}\)
bom dia!
\(L = \left ( \frac{a}{b} \right )^4 + \left ( \frac{b}{a} \right )^4\)
\(L = \frac{a^4}{b^4} + \frac{b^4}{a^4}\)
\(L = \frac{a^8 + b^8}{a^4b^4}\)
\(L = \frac{(a^8 + 2a^4b^4 + b^8) - 2a^4b^4}{a^4b^4}\)
\(\fbox{L = \frac{(a^4 + b^4)^2 - 2a^4b^4}{a^4b^4}}\)
Da condição I),
\(ab = \sqrt{3}\)
\(\left ( ab \right )^4 = \left ( \sqrt{3} \right )^4\)
\(a^4b^4 = \sqrt{81}\)
\(\fbox{a^4b^4 = 9}\)
Da condição II),
\(a^2 - b^2 = 3\)
\(\left ( a^2 - b^2 \right )^2 = (3)^2\)
\(a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = 9\)
\(a^4 + b^4 = 9 + 2 \cdot (ab)^2\)
\(a^4 + b^4 = 9 + 2 \cdot (\sqrt{3})^2\)
\(\fbox{a^4 + b^4 = 15}\)
Por fim, voltamos a equação inicial...
\(L = \frac{(a^4 + b^4)^2 - 2a^4b^4}{a^4b^4}\)
\(L = \frac{(15)^2 - 2 \cdot 9}{9}\)
\(L = \frac{225 - 18}{9}\)
\(L = \frac{207}{9}\)
\(\fbox{\fbox{L = 23}}\)