exercício de Equação do segundo grau
29 abr 2014, 02:20
Segundo exercício da minha sequência de dúvidas já explicitadas.:
exercício(2).:Se A e B são raízes reais da equação \(x^2+\frac{9x^2}{x^2+6x+9}=27\), A>B,determine o valor de A-B.
exercício(2).:Se A e B são raízes reais da equação \(x^2+\frac{9x^2}{x^2+6x+9}=27\), A>B,determine o valor de A-B.
Re: exercício de Equação do segundo grau
29 abr 2014, 18:49
Se tem
\(x^2+\frac{9x^2}{x^2+6x+9}=27\)
pode-se simplificar
\(\frac{9x^2}{x^2+6x+9}=27-x^2\)
\(9x^2=(27-x^2)(x^2+6x+9)\)
\(9x^2=27x^2+162x+243-x^4-6x^3-9x^2\)
\(-x^4-6x^3+9x^2+162x+243={0}\)
é equivalente a achar os zeros do polinómio \(P(x)=-x^4-6x^3+9x^2+162x+243\)
agora pode usar a fórmula de Vieta
http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta%27s_formulas
\(x^2+\frac{9x^2}{x^2+6x+9}=27\)
pode-se simplificar
\(\frac{9x^2}{x^2+6x+9}=27-x^2\)
\(9x^2=(27-x^2)(x^2+6x+9)\)
\(9x^2=27x^2+162x+243-x^4-6x^3-9x^2\)
\(-x^4-6x^3+9x^2+162x+243={0}\)
é equivalente a achar os zeros do polinómio \(P(x)=-x^4-6x^3+9x^2+162x+243\)
agora pode usar a fórmula de Vieta
http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta%27s_formulas
Re: exercício de Equação do segundo grau [resolvida]
30 abr 2014, 00:07
Boa noite,Breno!
Ache uma solução elegante para essa questão. Esse tipo de questão requer muita atenção e criatividade para descobrir o "truque" embutido nela.E se torna muito difícil tenta resolvê-la diretamente(usando fórmulas).Creio também que devemos usar apenas conhecimento do ensino fundamental.
Agora,peço que acompanhe meu raciocino:
A expressão \(\frac{9x^{2}}{x^{2}+6x+9}\) é um quadrado perfeito. Fatorando,obtemos :\((\frac{3x}{x+3})^{2}\).
Assim, a equação dada se reduz a:
\(x^{2}+(\frac{3x}{x+3})^{2}=27\)
Observe que o primeiro membro tem dois termo elevados ao quadrado . Então, usamos o método de completar quadrado(esse é o truque).Resultando:
\(x^{2}-2.x.\frac{3x}{x+3}+(\frac{3x}{x+3})^{2}=27-2.x.\frac{3x}{x+3}\)
Fatorando o 1º membro,Vem:
\((x-\frac{3x}{x+3})^{2}=27-\frac{6x^{2}}{x+3}\rightarrow (\frac{x^{2}}{x+3})^{2}+6.\frac{x^{2}}{x+3}=27\)
Fazendo: \(y=\frac{x^{2}}{x+3}\), e substituindo na ultima equação: \(y^{2}+6y=27\rightarrow y=-9 \vee y=3\)
Agora,é só voltar para a incógnita original(x) e obter as raízes .Espero que tenha entendido.
Abraço
Ache uma solução elegante para essa questão. Esse tipo de questão requer muita atenção e criatividade para descobrir o "truque" embutido nela.E se torna muito difícil tenta resolvê-la diretamente(usando fórmulas).Creio também que devemos usar apenas conhecimento do ensino fundamental.
Agora,peço que acompanhe meu raciocino:
A expressão \(\frac{9x^{2}}{x^{2}+6x+9}\) é um quadrado perfeito. Fatorando,obtemos :\((\frac{3x}{x+3})^{2}\).
Assim, a equação dada se reduz a:
\(x^{2}+(\frac{3x}{x+3})^{2}=27\)
Observe que o primeiro membro tem dois termo elevados ao quadrado . Então, usamos o método de completar quadrado(esse é o truque).Resultando:
\(x^{2}-2.x.\frac{3x}{x+3}+(\frac{3x}{x+3})^{2}=27-2.x.\frac{3x}{x+3}\)
Fatorando o 1º membro,Vem:
\((x-\frac{3x}{x+3})^{2}=27-\frac{6x^{2}}{x+3}\rightarrow (\frac{x^{2}}{x+3})^{2}+6.\frac{x^{2}}{x+3}=27\)
Fazendo: \(y=\frac{x^{2}}{x+3}\), e substituindo na ultima equação: \(y^{2}+6y=27\rightarrow y=-9 \vee y=3\)
Agora,é só voltar para a incógnita original(x) e obter as raízes .Espero que tenha entendido.
Abraço
Re: exercício de Equação do segundo grau
30 abr 2014, 22:59
Caro jomatlove
muito, muito obrigados
excelente e elegante resposta
seja sempre bem-vindo
um abraço
muito, muito obrigados
excelente e elegante resposta
seja sempre bem-vindo
um abraço
Re: exercício de Equação do segundo grau
01 mai 2014, 03:11
É impressionante como a matemática é um conjunto de ''sacadas'' para cada determinado,assunto.Por exemplo,para todo tipo de questão desse tipo é preciso que nos voltemos a completar produtos notáveis de tal forma que um polinômio de grau N se torne uma equação do segundo grau.
Visto isso é possível facilmente resolver essa questão.:
1)Determine as raízes Reais da equação.: \(x^2+\frac{x^2}{x^2+2x+1}=3\)
Por conseguinte gostaria de agradecer ao jomatlove pela sua excelente sacada,e de maneira geral a esse fórum que está sempre me ajudando quando preciso,mesmo embora não tento ajudado no fórum,pois minha rotina de estudo não me permite descanso,tenho sempre recebido a ajuda de vocês,muito obrigado.
Visto isso é possível facilmente resolver essa questão.:
1)Determine as raízes Reais da equação.: \(x^2+\frac{x^2}{x^2+2x+1}=3\)
Por conseguinte gostaria de agradecer ao jomatlove pela sua excelente sacada,e de maneira geral a esse fórum que está sempre me ajudando quando preciso,mesmo embora não tento ajudado no fórum,pois minha rotina de estudo não me permite descanso,tenho sempre recebido a ajuda de vocês,muito obrigado.