Transforma usando quantificadores - Como achar os números?

[alexduarte]

Amigos, devido a minha grande dificuldade em matemática resolvi pegar a coleção "Fundamentos da Matemática Elementar" para estudar, já estou levando uma surra desde o começo, mas não vou desistir, a minha dúvida é a seguinte, um certo exercício pede o seguinte

Caso alguém queira olhar no livro, se trata da página 14A
A.7 - Transforme as seguintes sentenças abertas em proposições verdadeiras usando quantificadores
a)x²-5x+4=0
b)(a+1)(a-1)=a²-1
c)√m²+9≠m+3
d)y/3+y/4≠y/7
e)-(-x)=x
f)5a+4≤11
g)√x²=x
h)(a²-a)/a

A minha dúvida não é quantificar, já que por exemplo, a primeira fica
(∃|x)(x²-5x+4=0)

E a segunda fica
(∇|a)((a+1)(a-1)=a²-1)

Essa eu entendo como identificar que qualquer que seja o valor de a, o resultado sempre será igual e eles irão se anular, porém, na primeira eu fiquei em dúvida em como descobrir esse número, eu descobri porque troquei por 0 e vi que não daria certo.

Existe alguma fórmula mais simples ou o segredo é só trocar sempre por zero pra ver o que acontece?

Acham uma boa pra quem sabe quase nada usar o livro que eu disse?
Obrigado.
O meu

[alexduarte]

Usei o símbolo errado acima, o correto seria ∀ no lugar de ∇, desculpem!

[Fraol]

Boa noite,

O caminho é esse mesmo.

Você analisa a sentença aberta e verifica o que é necessário para torná-la verdadeira. Aí deve-se levar em conta propriedades matemáticas relacionadas à sentença.

Uma coisa que é importante é saber, ou definir o universo (do discurso! que bonito hein!).

Por exemplo, a sentença: \(x^2 = -1\)

Como torná-la numa expressão verdadeira usando quantificadores e/ou operadores lógicos?

Ou seja, nesse caso será necessário identificar o universo pois, se tratarmos de números reais a maneira é uma e será outra se for no universo dos números complexos.

[alexduarte]

Fraol, obrigado pela ajuda, se importa em me dar uma dica referente a letra d?

d)y/3+y/4≠y/7

A resposta é
(∃|y)(y/3+y/4≠y/7)

Porém, como faço pra testar esse número?
Vamos supor que o único número que satisfação a equação seja o número 500, eu não tenho como ir do 0 até o 500 pra saber isso, ou ainda ao contrário, que fosse fazendo até o 480 todos os números provam que todos eles tornam a equação verdadeira, porém, o número 481 não daria o resultado correto, existe um jeito mais fácil de achar tal número?
Fiquei super perdido nisso.

Obrigado pela ajuda.

[Fraol]

Oi,

Uma forma de enfrentar esse caso é fazendo a conta:

\(\frac{y}{3} + \frac{y}{4} = \frac{7y}{12}\)

É bem intuitivo achar que \(\frac{7y}{12} \neq \frac{y}{7}\), certo?

Bom, se isso fosse verdade para todos os \(y\) deveríamos usar o quantificador universal. Mas quando \(y\) é igual a 0 a expressão inicial não vale. Por outro lado, quando \(y \neq 0\) a expressão vale, logo existe \(y\).

[alexduarte]

Olá,

Entendi, obrigado mesmo!

[Luizac]

Olá,
Como fica a resolução da letra c) √m² +9 = m +3

e a h) (a² - a)/a = a - 1

Pra mim era ∀ para as duas mas no gabarito do livro estão como ∃.
Podem me ajudar, por favor?

Obrigada.