Provar congruencia de aritmetica modular

[Mattioli]

Olá, pessoal.

Estou com uma dúvida em exercício de teoria dos números (aritmética modular, pra ser mais preciso) e gostaria da ajuda de vocês, se possível

Bom, o problema diz o seguinte: Mostre que \(5n^3 + 7n^5 \equiv 0 (mod 12)\) para todo n.

Acho que a resolução está relacionada ao teorema de Wilson ou o de Fermat, mas não estou conseguindo relacioná-los para encontra-la.

Obrigado.

[João P. Ferreira]

não dará para resolver por indução matemática?

[Rui Carpentier]

O (pequeno) teorema de Fermat diz que, para \(p\) primo, se \(n\not\equiv 0 mod p\) então \(n^{p-1}\equiv 1 mod p\). O que é equivalente a \(n^p\equiv n mod p\) para qualquer n. Logo \(n^3\equiv n mod 3\) e \(n^5=n^3\times n^2\equiv n\times n^2=n^3\equiv n mod 3\) e como tal \(5n^3+7n^5\equiv 5n+7n=12n\equiv 0 mod 3\) (ou seja \(5n^3+7n^5\) é múltiplo de 3) para qualquer n.
O teorema de Euler, que generaliza o teorema de Fermat, diz que se n é coprimo com k então \(n^{\varphi(k)}\equiv 1 mod k\) onde \(\varphi(k)\) é nº de elementos em {1,2,...,k-1} coprimos com k. Logo se n for ímpar temos que \(n^2\equiv 1 mod 4\) e portanto \(5n^3+7n^5\equiv 5n+7n=12n\equiv 0 mod 4\) (ou seja \(5n^3+7n^5\) é múltiplo de 4). Se n for par então \(n^2\equiv 0 mod 4\) e portanto também temos \(5n^3+7n^5=n^2(5n+7n^3)\equiv 0 mod 4\).
Concluindo, seja qual for o n temos que \(5n^3+7n^5\) é múltiplo de 3 e 4 e portanto múltiplo de 12.