Prove pelo principio da indução matemática que a sucessão é sempre múltipla de 5
10 jun 2014, 15:10
Olá, alguém pode dar uma luz nesse exercício?
- Anexos
-
Re: prove pelo principio da indução natural
10 jun 2014, 18:54
temos que provar que existe um \(k \in \mathb{Z}\) tal que
\(6^n+4=5.k\) para todo o \(n \in \mathb{N}\)
provemos para \(n=1\)
\({6}^{1}+{4}=10={2.5}\) logo \(k=2\), o que é válido
temos que demonstrar agora que se \(n\) é válido então \(n+1\) também o é.
\(6^{n}+4=5.k\)
\(6.6^{n}+6.4=6.5.k\)
\(6^{n+1}+24=30.k\)
\(6^{n+1}+4=30.k-20\)
\(6^{n+1}+4=5.(6k-4)\)
como \((6k-4)\) é sempre inteiro, ou seja, pertence a \(\mathb{Z}\) comprovou-se assim o que se queria demonstrar
\(6^n+4=5.k\) para todo o \(n \in \mathb{N}\)
provemos para \(n=1\)
\({6}^{1}+{4}=10={2.5}\) logo \(k=2\), o que é válido
temos que demonstrar agora que se \(n\) é válido então \(n+1\) também o é.
\(6^{n}+4=5.k\)
\(6.6^{n}+6.4=6.5.k\)
\(6^{n+1}+24=30.k\)
\(6^{n+1}+4=30.k-20\)
\(6^{n+1}+4=5.(6k-4)\)
como \((6k-4)\) é sempre inteiro, ou seja, pertence a \(\mathb{Z}\) comprovou-se assim o que se queria demonstrar