Definir Subspaços Vetoriais em R³
17 jul 2014, 12:37
Bom dia gente, estou tentando estudar para uma prova da faculdade e estou um pouco confuso quanto aos subspaços do R³, do R² entendi bem, tentei fazer este exercício a um tempo atrás e além de errar nunca soube a resposta correta, alguém poderia me auxiliar?
Coloquei a foto em anexo visto que aqui não aceita a tag [img] do bbcode. (ou eu não sei como colocar).
Coloquei a foto em anexo visto que aqui não aceita a tag [img] do bbcode. (ou eu não sei como colocar).
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Re: Definir Subspaços Vetoriais em R³
17 jul 2014, 15:17
Olá, Bruno.
Proceda da seguinte forma. Para que \(S\) seja um subespaço vetorial deve cumprir as seguintes propriedades:
1) a soma de dois vetores quaisquer que pertençam a \(S\) deve pertencer a \(S\).
2) a multiplicação de um vetor qualquer que pertence a \(S\) por um escalar arbitrário deve resultar em um vetor que também pertence a \(S\).
Vamos aplicar isto para o conjunto \(S\) da alínea "a":
1) \(v,w \in S\Rightarrow v=\left \{ \left ( x_1,y_1,z_1 \right )\in \mathbb{R}^3, x_1 \ge 0 \right \}\), \(w=\left \{ \left ( x_2,y_2,z_2 \right )\in \mathbb{R}^3, x_2 \ge 0 \right \}\).
Então \(v+w=\left \{ \left ( x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2 \right )\in \mathbb{R}^3 \right \}\) onde \(x_1+x_2 \ge 0\), porque a soma de dois números maiores ou iguais a zero é maior ou igual a zero. Logo, \(v+w \in S\).
2) \(a \in \mathbb{R},v \in S\Rightarrow v=\left \{ \left ( x_1,y_1,z_1 \right )\in R^3, x_1 \ge 0 \right \}\), mas note que \(av= \left \{ \left ( ax_1,ax_2,ax_3 \right ) \right \}\), onde \(ax_1 < 0\) se \(a <0\) e \(x_1 >0\). Assim, \(av\) não pertence a \(S\) para todo \(a \in \mathbb{R}\)
e todo \(v \in S\).
Concluimos então que \(S\) não é um subespaço vetorial.
Proceda da seguinte forma. Para que \(S\) seja um subespaço vetorial deve cumprir as seguintes propriedades:
1) a soma de dois vetores quaisquer que pertençam a \(S\) deve pertencer a \(S\).
2) a multiplicação de um vetor qualquer que pertence a \(S\) por um escalar arbitrário deve resultar em um vetor que também pertence a \(S\).
Vamos aplicar isto para o conjunto \(S\) da alínea "a":
1) \(v,w \in S\Rightarrow v=\left \{ \left ( x_1,y_1,z_1 \right )\in \mathbb{R}^3, x_1 \ge 0 \right \}\), \(w=\left \{ \left ( x_2,y_2,z_2 \right )\in \mathbb{R}^3, x_2 \ge 0 \right \}\).
Então \(v+w=\left \{ \left ( x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2 \right )\in \mathbb{R}^3 \right \}\) onde \(x_1+x_2 \ge 0\), porque a soma de dois números maiores ou iguais a zero é maior ou igual a zero. Logo, \(v+w \in S\).
2) \(a \in \mathbb{R},v \in S\Rightarrow v=\left \{ \left ( x_1,y_1,z_1 \right )\in R^3, x_1 \ge 0 \right \}\), mas note que \(av= \left \{ \left ( ax_1,ax_2,ax_3 \right ) \right \}\), onde \(ax_1 < 0\) se \(a <0\) e \(x_1 >0\). Assim, \(av\) não pertence a \(S\) para todo \(a \in \mathbb{R}\)
e todo \(v \in S\).
Concluimos então que \(S\) não é um subespaço vetorial.
Re: Definir Subspaços Vetoriais em R³
17 jul 2014, 16:04
Obrigado, conclui as questões fazendo como você ensinou e encontrei como resposta a letra D, a única que aceita todos os requisitos que você colocou e o fato também de haver o elemento nulo (não haver o conjunto vazio).
Obrigado mesmo a todos e ao fórum, em breve mais dúvidas.
Obrigado mesmo a todos e ao fórum, em breve mais dúvidas.