Provar que a Desigualdade Triangular é válida

[jvitor1402]

Pessoal sou novo no fórum, então primeiramente me desculpem qualquer erro na postagem, se existir. Gostaria de ajuda com esse problema sobre desigualdade.

* Dados números reais não nulos x1, x2, xn , prove a desigualdade triangular:\(|x1 + x2 +...+ xn| \leq |x1| + |x2| +...+ |xn|\), ocorrendo a igualdade só se x1, x2, . . . , xn tiverem um mesmo sinal

Não consegui pensar numa maneira para provar que vale para todos n, apenas para n=1, que é claro, e para n=2, um dos números deve ser negativo. Como provar para todos n?

[Rui Carpentier]

Não consegui pensar numa maneira para provar que vale para todos n, apenas para n=1, que é claro, e para n=2, um dos números deve ser negativo.

Não necessariamente, note que se tivermos uma igualdade também temos a desigualdade não estrita (dito de outra forma, \(a=b \Rightarrow a\leq b\))

Como provar para todos n?

Faça por indução: se, por hipótese de indução, \(|x_1 + x_2 +...+ x_n| \leq |x_1| + |x_2| +...+ |x_n|\) então também temos a tese de indução: \(|x_1 + x_2 +...+ x_{n+1}| \leq |x_1| + |x_2| +...+ |x_{n+1}|\).
Pois \(|x_1 + x_2 +...+ x_{n+1}| =|(x_1 + x_2 +...+x_n)+ x_{n+1}| \leq |(x_1 + x_2 +...+x_n)|+ |x_{n+1}| \leq (|x_1| + |x_2| +...+ |x_n|)+|x_{n+1}| = |x_1| + |x_2| +...+ |x_{n+1}|\) (na primeira desigualdade usamos a desigualdade para n=2 e na segunda desigualdade usamos a hipótese de indução).

[jvitor1402]

Obrigado!!!