sobre topologia do espaço euclidiano

[Walter R]

Bom dia a todos. Gostaria de uma opinião para resolver o seguinte problema:

"Para quaisquer \(X,Y\subset \mathbb{R}^n\) prove que \(\overline{X\cap Y}\subset \overline{X}\cap \overline{Y}\) ( onde o símbolo \(\overline{X}\) denota o fecho de \(X\)). Dê um exemplo de que não vale \(\overline{X\cap Y}=\overline{X}\cap \overline{Y}\).
A primeira parte do problema sai de imediato, pois \(X\subset \overline{X};Y\subset \overline{Y}\Rightarrow X\cap Y\subset \overline{X}\cap \overline{Y}\). Como \(\overline{X}\cap \overline{Y}\) é fechado (intersecção de conjuntos fechados), segue que \(\overline{X\cap Y}\subset \overline{X}\cap \overline{Y}\). Mas e o contra-exempo? Será que \(A=(a,b)\), \(B=(c,d)\) é um contra-exemplo? Evidentemente, \(\overline{A\cap B}=\varnothing\). Mas o que é \(\overline{A}\)?

[Sobolev]

Penso que tomando

\(X = [0,1[, \qquad Y=]1,2]\)

terá o seu contra-exemplo já que

\(\bar{X\cap Y} = \bar{\emptyset} = \emptyset\)

\(\bar{X}\cap \bar{Y} = [0,1] \cap [1,2] = \{ 1\}\)

[Walter R]

Olá, Sobolev. Mas qual seria um contra-exemplo no\(\mathbb{R}^2\)?

[Sobolev]

\(X = \{(x,y)\in\mathb{R}^2: x^2+y^1<1\}, \qquad Y = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 1 < x^2+y^2 \leq 2\)

\(\bar{X\cap Y} = \bar{\emptyset} = \emptyset\)

\(\bar{X}\cap \bar{Y} = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2=\mathrm{1}\}\)