Uma questão por tópico... Vejamos a)
Se G é um grupo ciclico infinito então \(G=<a>\) (e todas as potências de a são distintas). Suponhamos então que existe um outro gerador \(b \in G\), que necessariamente se pode escrever como uma potência de \(a\), isto é, \(b = a^n\). Se \(b\) for gerador de G então\(a\) também pode ser escrito como potência de \(b\):
\(a = b^m = (a^n)^m = a^{nm}\)
pelo que concluímos que
\(a = a^{mn} \Leftrightarrow a^{mn-1} = Id\).
Como na condições propostas \(Id = a^0\), concluímos que \(mn=1\), pelo que m=n=1 ou m=n=-1. Em resumo, provámos que se b for gerador de G então \(b=a\) ou \(b=a^{-1}\), o que mostra de G tem exactamente 2 geradores.