Relaçao de equivalencia

[ivoski]

considere uma relaçao R, no conjunto dos numeros inteiros dada por aRb se e somente se a - b é par

a) Mostre que esta e uma relacao de equivalencia em Z.

b) Mostre que os numeros 0, 2, 122 e 200 pertencem a uma mesma classe de
equivalencia e que -3, -1, 1 e 123 pertencem a uma mesma classe de equivalencia diferente
da primeira. Quantas classes de equivalencia existem para esta relacao?

c) Determine o conjunto quociente Z/R desta relacao de equivalencia.

[Rui Carpentier]

a) A relação R é uma relação de equivalência por definição se for reflexiva, simétrica e transitiva.

- R é reflexiva (i.e. \(aRa \forall a\in\mathbb{Z}\)):
para qualquer inteiro\(a\), \(a-a=0\) que é um número par.

- R é simétrica (i.e. \(aRb \Rightarrow bRa\)):
\(aRb\) equivale a dizer que \(a-b\) é par o que implica que \(b-a\) também é par ou seja \(bRa\).

- R é transitiva (i.e. \(aRb , bRc \Rightarrow aRc\)):
\(aRb, bRc \Leftrightarrow a-b\) e \(b-c\) são pares o que implica que \(a-c=(a-b)+(b-c)\) tmabém é par (ou seja \(aRc\)).

b) Todos os números pares pertencem à mesma classe de equivalência pois a diferença entre quaisquer dois pares é um par. Da mesma forma todos os números ímpares também pertencem a uma só classe de equivalência. Estas duas classes são distintas pois a diferença entre um par e um ímpar ou entre um ímpar e um par não é um número par. E como todo o número inteiro é par ou ímpar só existem estas duas classes.

c) O conjunto quociente Z/R={[0],[1]} é formado por dois elementos: a classe dos pares (que são os números equivalentes ao 0) e a classe dos ímpares (que são os números equivalentes ao 1).