Análise Real : Completeza de R (Reais)

[jorgeluizsousavidal]

12. Sejam \(B\subset A\) conjuntos não-vazios de números reais. Suponha que \(A\) seja limitado superiormente e que, para cada \(x\in A\) , exista um \(y\in B\)
tal que \(x\leq y\). Prove que nestas condições, tem-se \(SupB=SupA\).

[santhiago]

Primeiro começamos por mostrar que \(\sup B\) é uma cota superior para \(A\) .Para tal , devemos mostrar que \(x \leq \sup B\) , quaisquer que seja \(x\) em \(A\) . Tome então de forma arbitrária um número \(x\) em \(A\) .Da hipótese sabemos que existe um \(y_x\) em \(B\) satisfazendo

\(x \leq y_x\) .

Por definição de cota superior , \(y_x \leq \sup B\) , então (por transitividade ) \(x \leq \sup B\) .

Por definição de supremo , esta última desigualdade implica que \(\sup A \leq \sup B\) .

Tente concluir mostrando que vale \(\sup A \geq \sup B\) .

[jorgeluizsousavidal]

Primeiro começamos por mostrar que \(\sup B\) é uma cota superior para \(A\) .Para tal , devemos mostrar que \(x \leq \sup B\) , quaisquer que seja \(x\) em \(A\) . Tome então de forma arbitrária um número \(x\) em \(A\) .Da hipótese sabemos que existe um \(y_x\) em \(B\) satisfazendo

\(x \leq y_x\) .
Cara não conseguir visualizar...tem como fazer o resto pra mim??????


Por definição de cota superior , \(y_x \leq \sup B\) , então (por transitividade ) \(x \leq \sup B\) .

Por definição de supremo , esta última desigualdade implica que \(\sup A \leq \sup B\) .

Tente concluir mostrando que vale \(\sup A \geq \sup B\) .

[santhiago]

A última desigualdade a ser demonstrada segue de imediato de \(B\) ser um subconjunto de \(A\) .Com efeito , por definição de cota superior

\(x \geq \sup A (*)\) , para quaisquer que seja \(x\) em \(A\) . Assim , sendo \(B \subset A\) , como \((*)\) vale para todo \(x\) em \(A\) ) logo também o vale para todo \(x\) em \(B\) donde concluímos que \(\sup A\) é uma cota superior para \(B\) .Veja que \(\sup B\) é a menor das cotas superiores para \(B\) (o que significa que qualquer outra cota superior para B é superior ao sup B) por isso \(\sup A \geq \sup B\) .