Análise Real : Sequências Núméricas (limites)

[jorgeluizsousavidal]

8. Dados\(a, b \in \mathbb{R}^+\) , defina indutivamente as sequências \(\left ( x_{n} \right )\) e \(\left ( y_{n} \right )\) pondo \(x_{1}=\sqrt{ab}\) , \(y_{1}=\frac{a+b}{2}\) , \(x_{n+1}=\sqrt{x_{n}y_{n}}\), e \(y_{n+1}=\frac{x_{n}+y_{n}}{2}\). Prove que \(x_{n}\) e \(y_{n}\) convergem para o mesmo limite.

[Rui Carpentier]

Vou só indicar os passos a seguir.
1) Comece por provar para quaisquer reais positivos \(a,b\in\mathbb{R}^+\) se tem as desigualdades \(\min\{a,b\}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \max\{a,b\}\) (veja a desigualdade das médias).
2) Conclua que \((x_n)\) é uma sucessão crescente majorada por \(\max\{a,b\}\) e que \((y_n)\) é uma sucessão decrescente minorada por \(\min\{a,b\}\).
3) Conclua que as duas sucessões são convergentes e mostre que têm limites iguais (dica: \(\lim y_n=\lim y_{n+1}=\frac{\lim x_n +\lim y_n}{2}\)).

[jorgeluizsousavidal]

Vou só indicar os passos a seguir.
1) Comece por provar para quaisquer reais positivos \(a,b\in\mathbb{R}^+\) se tem as desigualdades \(\min\{a,b\}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \max\{a,b\}\) (veja a desigualdade das médias).
2) Conclua que \((x_n)\) é uma sucessão crescente majorada por \(\max\{a,b\}\) e que \((y_n)\) é uma sucessão decrescente minorada por \(\min\{a,b\}\).
3) Conclua que as duas sucessões são convergentes e mostre que têm limites iguais (dica: \(\lim y_n=\lim y_{n+1}=\frac{\lim x_n +\lim y_n}{2}\)).

Cara preciso ver que é a sequencia (Xn) e quem é a sequência (Yn). Preciso dos três primeiros termos....tem com mim mostrar ?