A quantidade dos números inteiros de 200 a 800

[Sara]

Olá, podem me ajudar com esse exercício, por favor.

1) A quantidade dos números inteiros de 200 a 800, que não são divisíveis por 3 e nem por 11 é:
a) 363
b) 365
c) 367
d) 347

[danjr5]

Olá Sara, boa noite!

Encontremos a quantidade de números que são múltiplos APENAS de 3;

\(\\ a_n = a_1 + (n - 1)r,\;\;\begin{cases}a_n = 798 \\ a_1 = 201 \\ r = 3 \\ n = \end{cases} \\\\ 798 = 201 + (n - 1)3 \\ 3(n - 1) = 597 \\ n - 1 = 199 \\ \fbox{n = 200}\)

Encontremos a quantidade de números que são múltiplos APENAS de 11;

\(\\ a_n = a_1 + (n - 1)r,\;\;\begin{cases}a_n = 792 \\ a_1 = 209 \\ r = 11 \\ n = \end{cases} \\\\ 792 = 209 + (n - 1)11 \\ 11(n - 1) = 583 \\ n - 1 = 53 \\ \fbox{n = 54}\)

Encontremos, agora, a quantidade de números que são múltiplos de 3 e 11 simultaneamente;

\(\\ a_n = a_1 + (n - 1)r,\;\;\begin{cases}a_n = 792 \\ a_1 = 231 \\ r = 33 \\ n = \end{cases} \\\\ 792 = 231 + (n - 1)33 \\ 33(n - 1) = 561 \\ n - 1 = 17 \\ \fbox{n = 18}\)

Dos conjuntos sabemos que: \(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\), então,

\(\\ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \\\\ n(A \cup B) = 200 + 54 - 18 \\\\ \fbox{n(A \cup B) = 236}\)

De tudo que foi calculado acima, concluímos que a quantidade de divisores de 3 e de 11, dentro daquela intervalo, é 236!

Ora, a quantidade total de números inteiros é dada pela diferença somando uma unidade, veja:

\(\\ 800 - 200 + 1 = \\ 601\)

Para finalizar,

\(\\ \text{quantidade total} - \text{divisores de 3 e 11} = \\ 601 - 236 = \\ \fbox{\fbox{365}}\)