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Para que V seja um espaço vetorial é necessário que lhe estejam associadas duas operações, uma de adição e uma de multiplicação de elementos em V, e essas operações devem ter as propriedades de:
Fecho da adição, fecho da multiplicação por números reais, comutatividade da adição, associatividade da adição, existência de zero, existência de simétricos, associatividade da multiplicação por números reais distributividade e existência de identidade.
Assim sendo, para verificar se V é ou não espaço vectorial com as operações definidas no enunciado do problema, é necessário determinar se as propriedades se verificam. Ao fazê-lo pela ordem indicada as seguintes propriedades verificam-se:
Fecho da adição: a soma de qualquer par de elementos de V pertence a V;
Fecho da multiplicação por números reais: o produto de qualquer número real por qualquer elemento de V pertence a V.
No entanto, quando chegamos à comutatividade da adição, esta não se verifica, porque:
\((a,b)+(c,d) = (a-c, b+d) e (c,d)+(a,b) = (c-a,d+b)\) e, nesse caso, \((a,b)+(c,d) \neq (c,d) + (a,b)\)
Basta que uma das propriedades não se verifique para que V não seja espaço vetorial, como é o caso.
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