Se V = [(1,0,-1),(2,1,3),(3,1,-2)], entao a dimensão de V é igual a 3? justifique.

[Daianne]

Se V = [(1,0,-1),(2,1,3),(3,1,-2)], entao a dimensão de V é igual a 3? justifique.

[Fraol]

Olá,

A dimensão é o número de qualquer base de um espaço vetorial.
Para ser base de um espaço vetorial o conjunto de vetores deve gerar o espaço e ser LI (linearmente independente) .

Então, para responder esta questão você deve verificar se esse conjunto é base do \(R^3\), que pode ser feito assim:

\(v=(x,y,z)= a(1,0,-1) + b(2,1,3) +c(3,1,-2)\Rightarrow (x,y,z)= (a,0,-a) + (2b,b,3b) + (3c,c,-2c)\Leftrightarrow x = a+2b+3c; y=b+c; z=-a+3b-2c.\)
Para terminar essa parte você deve isolar a,b, c em função de x,y,z concluindo se os vetores dados geram o espaço.

e verificar se o conjunto de vetores dados é LI ( basta você calcular o determinante da matriz formada pelos vetores e se for diferente de 0 então o conjunto é LI.)

Tente concluir.

[Daianne]

Nao consegui terminar... =/

[Fraol]

Boa noite,

\(v=(x,y,z)= a(1,0,-1) + b(2,1,3) +c(3,1,-2)\Rightarrow (x,y,z)= (a,0,-a) + (2b,b,3b) + (3c,c,-2c)\Leftrightarrow x = a+2b+3c; y=b+c; z=-a+3b-2c.\)
Para terminar essa parte você deve isolar a,b, c em função de x,y,z concluindo se os vetores dados geram o espaço.

Eu vou omitir os detalhes ( é mais trabalhose, mas acho que você poderia tentar desenvolver para treinar, por exemplo usando elimação de Gauss ou outro método que souber para resolver o sistema de equações ), ao isolarmos chegamos em:

\(a = \frac{1}{2} \cdot (x - y )\)
\(b = \frac{1}{2} \cdot (-x + 6y + z)\)
\(c = \frac{1}{2} \cdot (x - 4y + z)\)

Então os vetores geram o espaço \(R^3\) (trata-se de uma solução única).

e verificar se o conjunto de vetores dados é LI ( basta você calcular o determinante da matriz formada pelos vetores e se for diferente de 0 então o conjunto é LI.)

(esse já é quase direto)
\(\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix} = -4\)

Então os vetores são LI.

Obs: Uma outra forma, direta, seria montar o sistema 0 = a+2b+3c; 0=b+c; 0=-a+3b-2c, veja que em vez de x, y, z usamos o 0. Nesse caso haveria a necessidade de mostrar que isso só seria verdade se e só se a=b=c=0, há uma referência sobre isso neste tópico aqui.

[Daianne]

Bom dia!!

Obrigada pela resposta, mas ainda fiquei com algumas duvidas:

A matriz que eu tenho que aplicar a eliminação de Gaus é essa?

\(\begin{bmatrix} 1& 2& 3 &|& 0 \\ 0& 1& 1 &|& 0 \\ -1& 3 & -2 &|& 0 \end{bmatrix}\)

e no fim chega no sistema:

x = a + 2b + 3c
y = b + c
z = -4c

É isso??

[Fraol]

A matriz que eu tenho que aplicar a eliminação de Gaus é essa?

\(\begin{bmatrix} 1& 2& 3 &|& 0 \\ 0& 1& 1 &|& 0 \\ -1& 3 & -2 &|& 0 \end{bmatrix}\)

A matriz que usei tinha, ao invés da coluna com 0 como a sua, os três valores seriam \(x, y, z\).

Uma matriz com 0 na última coluna como a sua deveria conter as coordenadas originais dos vetores e, nesse caso você estaria verificando a independência linear, tal como no post que citei. Como no seu problema original pede-se a verificação da dimensão do espaço segui por aquele caminho.

Contudo, como de costume, há outros caminhos. Neste outro post aqui há uma solução do amigo João P. Ferreira que é bem mais simples para resolver e entender.