Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Seja A uma matriz 4x4 com apenas 2 vetores próprios u1 e u2.Suponha ainda que os seus valores próprios têm multiplicidade algébrica iguais e que u1u2=10.
Então:
a)O polinómio característico de A pode ser P(u)=(u-2)(u-5)
b)O determinante de A é igual a 10
c)Qualquer dos espaços próprios de A tem dimensão 1.
d)Os valores próprios de A podem ter multiplicidades geométricas diferentes.

Boa tarde,

Alguem consegue perceber este exercício é que eu tb não consigo.......

obrigado...

Se u1 e u2 são vetores (próprios) o que é que significa u1u2=10? É o produto interno? Ou u1 e u2 são valores (e não vetores) próprios? E a unicidade é em \(\mathbb{R}\) ou em \(\mathbb{C}\)? E se u1 e u2 forem vetores (próprios) então está-se a considerar vetores unitários (senão 2u1, 3u1, 4u1,... também seriam vetores próprios)?
Convém clarificar esses pontos.

No entanto algumas opções já podem ser respondidas:

a)O polinómio característico de A pode ser P(u)=(u-2)(u-5)?

Não, pois o polinómio característico de uma matriz 4x4 tem sempre grau 4.

b)O determinante de A é igual a 10?

Não necessariamente. Sejam u1 e u2 vetores ou valores próprios é sempre possível encontrar contra-exemplos.

c)Qualquer dos espaços próprios de A tem dimensão 1?

Talvez, no caso de u1 e u2 serem os únicos vetores próprios unitários.

d)Os valores próprios de A podem ter multiplicidades geométricas diferentes?

Não, no caso de c) ser verdade.

Boa tarde,

Agora reparei que o enunciado tem uma gralha u₁ e u₂ são dois valores próprios não vectores.....

Sendo assim eu apontaria para a alínea C estarei correcto?