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Alguém aqui pode demonstrar que o conjunto dos números algébricos é fechado para a soma e para a multiplicação?
Obrigado

Uma maneira de demonstrar tal (foi a que aprendi e a única que conheço) é ter em conta as dimensões dos corpos de extensão (não me lembro se é a nomenclatura correta).
Sejam L um corpo e K um subcorpo de L. Há um resultado que diz que \(a\in L\) é algébrico sobre \(K\) se e só se o corpo \(K(a)\) (o menor subcorpo de L que contém K e a) é um espaço linear de dimensão finita sobre K. Assim sendo, se \(a,b\in\mathbb{R}\) são números algébricos (sobre \(\mathbb{Q}\)) então \(\mathbb{Q}(a)\) terá dimensão finita sobre \(\mathbb{Q}\) e \(\mathbb{Q}(a,b)=(\mathbb{Q}(a))(b)\) terá dimensão finita sobre \(\mathbb{Q}(a)\) (pois se b é algébrico sobre \(\mathbb{Q}\) é também algébrico sobre \(\mathbb{Q}(a)\)). Temos então que \(\mathbb{Q}(a,b)\) (o menor subcorpo de \(\mathbb{R}\) que contém \(\mathbb{Q}\), \(a\) e \(b\)) é um espaço linear de dimensão finita sobre \(\mathbb{Q}\). Como \(\mathbb{Q}(a,b)\) contém \(a+b\) e \(ab\) temos que \(\mathbb{Q}(a+b)\) e \(\mathbb{Q}(ab)\) são de dimensão finita sobre \(\mathbb{Q}\) logo \(a+b\) e \(ab\) são algébricos. Isto prova que os algébricos são fechados para somas e produtos.