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Olá, Daniel. Permita-me comentar um pouco sobre essa expressão.
Você tem 5 batatas, aí perde 5 batatas, quantas batatas sobram? Você tem 4 vezes um saco de batatas (isso significa que tem 4 sacos de batatas), aí compra mais um saco de batatas, quantos sacos tu terá? 4 vezes um saco de batatas mais um saco de batatas é igual 5 vezes um saco de batata? As respostas dessas perguntas justificam o que vou fazer mais adiante...
\(\sqrt{5} - \sqrt{5} = 0\) Então esquece esses caras, corta fora os dois.
Agora sobrou esses caras:
\(4\sqrt{2} + sqrt{2}\)
Sabemos que 4 vezes raiz de 2 é: raiz de 2 + raiz de 2 + raiz de 2 + raiz de 2. No entanto, temos mais uma raiz de 2 na expressão, teremos então:
\(5\sqrt{2}\)
Em cima ficou bem enxuto. Vamos ver o que pode ser feito embaixo agora.
Tu tem 4 balas e quer dividir essas balas para 2 crianças (desculpa, não te acho idiota, mas é importante essa sacada), cada criança receberá 2 balas. Se tu multiplicar as balas, digamos, por 5 e multiplicar as crianças por 5 também, cada criança sempre vai receber 2 balas, você pode multiplicar as balas por 1 trilhão, se as crianças aumentarem na mesma proporção (multiplicar por 1 trilhão), cada criança SEMPRE receberá 2 balas.
Agora, vamos imaginar que tem 2 crianças e meia (apesar de não existir meia criança, vamos manter a analogia). Há uma certa dificuldade em dividir 4 balas para 2 crianças e meia; meia criança? o que é isso? Bem-vindo ao mundo dos números Irracionais!!! Assim como é difícil imaginar meia criança, também é difícil imaginar um número irracional como \(\sqrt{5}\). Lembra da história de multiplicar as balas E as crianças por um MESMO número e que cada criança sempre vai receber a mesma quantidade de antes? O que acontece se multiplicarmos as crianças por 2 e as balas por 2? Em cima é fácil: se temos 4 balas, dobrando essas balas teremos 8 balas. Embaixo também não é difícil: se temos 2 crianças e meia, dobrando, teremos 2 crianças e meia + 2 crianças e meia.
2 crianças e meia + 2 crianças e meia = 5 crianças INTEIRAS. Apesar do aspecto bizarro dessa história, aquela meia criança se juntou com a meia criança que chegou e as duas se tornaram uma só! Daí, a partir de uma coisa irracional (meia criança), chegamos a algo racional. Para isso damos o nome de racionalização, e é isso que deverá ser feito com \(\sqrt{5}\) que está no denominador da sua expressão.
O que é uma raiz quadrada de um número? Acho que tu já sabe que é um número que multiplicado por ele mesmo e deu 5. \(\sqrt{4}\) é 2 porque 2*2 deu 4. \(\sqrt{9}\) é 3 porque 3*3 deu 9. Mas \(\sqrt{5}\) é um número que é maior que 2 e menor que 3. Calcular que número é esse é muito chato, porém temos a CERTEZA ABSOLUTA que seja lá qual for esse número, quando ele foi multiplicado por ELE MESMO o resultado deu 5. Agora vou perguntar de novo, qual o número que multiplicado por ele mesmo deu 5? Ué, tu já sabe, é raiz quadrada de 5, esse é o número que multiplicado por ele mesmo deu 5!!!
Não entendeu? É porque está pensando nas operações de forma muito granulada, quando tu olha \(\sqrt[3]{25}\), acaba dividindo demais, você pensa no número 3 (o índice), no número 25 que é o radicando, chega a pensar até no radical (o símbolo da operação). No entanto, todos esses caras JUNTOS formam um ÚNICO número, eles não formam 2 ou 3 números, forma APENAS 1! O incrível é que mesmo não sabendo que número é esse, você SABE que esse número multiplicado por ele mesmo 3 vezes e deu 25. Ou seja:
\(25 = \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{25}\)
Ou seja, no caso do nosso amigo: \(\sqrt{5}\) podemos concluir que:
\(5 = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}\)
Lembra das 4 balas divididas por 2 crianças? E que a gente pode multiplicar 4 e 2 pelo mesmo número que não mudaria o resultado? Usando essa ideia, podemos multiplicar embaixo e em cima por \(\sqrt{5}\), isso vai literalmente tirar o 5 da raiz! Nossa expressão tá assim:
\(\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\)
É só multiplicar em cima e embaixo por \(\sqrt{5}\)
\(\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{2}\sqrt{5}}{5}\)
Embaixo já está legal, mas em cima ainda dá pra brincar mais um pouco. Tem uma propriedade da raiz que diz o seguinte:
\(\sqrt[c]{a \cdot b} = \sqrt[c]{a} \cdot \sqrt[c]{b}\)
(nota: se quiser uma demonstração dessa propriedade é só falar, ok?)
É justamente o que temos na expressão: onde a = 2, b = 5 e c = 2. Nesse caso temos:
\(\sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{10}\)
Nossa expressão tá assim:
\(\frac{5\sqrt{10}}{5}\)
Mais uma simplificação pode ser feita. Da mesma forma que podemos multiplicar em cima em baixo por um mesmo número sem mudar a expressão, também podemos dividir por um mesmo número. Então é só fazer:
\(\frac{5\sqrt{10}}{5} \div \frac{5}{5} = \frac{\sqrt{10}}{1} = \sqrt{10}\)
E pra concluir:
\(\frac{4 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{2} - \sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \sqrt{10}\)
Acho que não é necessário calcular raiz de 10.
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