30 mar 2014, 01:17
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Sobre meu problema é entender a Diagonalização de Cantor eu li e reli várias vezes, mas infelizmente não entendi... O texto abaixo foi retirado da Wikipedia apenas para você entender do que se trata. Então é isso grato pela atenção ao ler esta postagem...
O argumento de diagonalização de Cantor é uma prova matemática imaginada por Georg Cantor para demonstrar que os números reais não são contavelmente infinitos (ou, equivalentemente, não formam um conjunto infinito enumerável). Ao contrário do que muitos matemáticos acreditam, o argumento de diagonalização não foi a primeira prova de Cantor da não-enumerabilidade dos números reais, que foi publicada três anos antes. A prova de Cantor mostra que o intervalo [0,1] não é contavelmente infinito.
A prova por contradição é feita da seguinte forma:
(1) Suponha (para fins de argumentação) que o intervalo [0,1] é infinito enumerável.
(2) Então nós podemos enumerar todos os números deste intervalo como uma seqüência, ( r1, r2, r3, ... )
(3) Nós sabemos que cada um desses números pode ser representado como uma expansão decimal.
(4) Arranjamos os números em uma lista (eles não precisam estar em ordem). No caso de números com duas expansões decimais, como 0,499... = 0,500..., escolhemos aquele que acaba com noves. Suponha, por exemplo, que as expansões decimais do início da seqüência são como se segue:
r1 = 0 , 5 1 0 5 1 1 0 ...
r2 = 0 , 4 1 3 2 0 4 3 ...
r3 = 0 , 8 2 4 5 0 2 6 ...
r4 = 0 , 2 3 3 0 1 2 6 ...
r5 = 0 , 4 1 0 7 2 4 6 ...
r6 = 0 , 9 9 3 7 8 3 8 ...
r7 = 0 , 0 1 0 5 1 3 5 ...
...
(5) Deve-se agora construir um número real x dentro do intervalo 0,1 considerando o k-ésimo dígito depois da vírgula da expansão decimal de rk.
r1 = 0 , 5 1 0 5 1 1 0 ...
r2 = 0 , 4 1 3 2 0 4 3 ...
r3 = 0 , 8 2 4 5 0 2 6 ...
r4 = 0 , 2 3 3 0 1 2 6 ...
r5 = 0 , 4 1 0 7 2 4 6 ...
r6 = 0 , 9 9 3 7 8 3 8 ...
r7 = 0 , 0 1 0 5 1 3 5 ...
...
Os dígitos que consideraremos estão sublinhados e em negrito, ilustrando por que isso é chamado de argumento de diagonalização.
(6) A partir desses dígitos nós definimos os dígitos do número x como a seguir.
se o k-ésimo dígito de rk é 5 então o k-ésimo dígito de x é 4.
se o k-ésimo dígito de rk não é 5 então o k-ésimo dígito de x é 5.
Para o exemplo anterior, isto resultará na seguinte expansão decimal para x:
x = 0 , 4 5 5 5 5 5 4 ...
(7) O número x é um número real (nós sabemos que todas as expansões decimais representam números reais) dentro do intervalo [0,1].
(8) Por isso, devemos ter rn = x para algum n, uma vez que presumimos que ( r1, r2, r3, ... ) enumera todos os números reais no intervalo [0,1].
(9) No entanto, por causa da maneira como escolhemos os dígitos 4 e 5 no passo (6), x difere na n-ésima posição de rn, então x não está na seqüência ( r1, r2, r3, ... ).
(10) Essa seqüência portanto não é uma enumeração do conjunto de todos os reais no intervalor [0,1]. Isto é uma contradição..
(11) Logo, a hipótese (1) de que o intervalo [0,1] é contavelmente finita deve ser falsa.
30 mar 2014, 19:45
Boa tarde,
A ideia aqui é de ajuda voluntária, então assim considere essa minha participação.
Essa minha explicação aqui não é muito diferente de outras que você possa ter visto, mas quem sabe num processo de discussão, talvez até com outros participantes, a gente não possa chegar ao entendimento.
Primeiro imaginemos um conjunto infinito mas enumerável com elementos {e1, e2, e3, e4, ...}.
A diagonalização é feita partindo-se do primeiro dígito, segundo segundo dígito, ... Como são números entre 0 e um vamos considerar que o primeiro dígito refere-se ao primeiro depois da vírgula e assim por diante.
Assim se você pegar um número tal que seja:
diferente do primeiro no primeiro dígito,
diferente do segundo no segundo dígito,
diferente do terceiro no terceiro dígito,
... e assim por diante ...
(diagonalização pois vai pegando os dígitos em diagonal como se fosse uma matriz (1,1), (2,2), (3,3), ...)
Então você encontrou um número que é diferente de todos os que estão no conjunto ( na verdade nem dá pra dizer todos pois o conjunto é infinito ), de qualquer forma esse seu novo número é diferente de qualquer um que possa lá estar.
Ou seja quaisquer conjuntos infinitos enumeráveis que se possa montar, sempre é possível encontrar um número que não está lá. Logo o conjunto dos números entre 0 e 1 é infinito.
O que você me diz?
01 abr 2014, 18:40
Vim neste momento lhe agradecer, porém não irei comentar sua resposta por que durante a semana estou lotado de aulas e meu tempo fica escasso. Por isto meu amigo, lhe agradeço de coração sua resposta. MUITO OBRIGADO!!! Provavelmente no fim de semana terei mais tempo e lerei sua resposta com a devida atenção e necessário esforço para compreender. Então até lá!