05 abr 2014, 04:50
A fração \(\frac{37}{13}\) pode ser escrita na forma 2 + \(\frac{1}{x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}\) onde x,y e z são inteiros positivos.
O valor da soma x^2 + y^2 + z^2 tem como resultado ,um número que:
R:possui 8 divisores naturais
05 abr 2014, 15:49
Olá pinkman,
boa tarde!
Ótima questão!
Ao efectuar a divisão 37/13, note que a parte inteira (divisor) vale 2, assim como na fracção; enfim, a parte inteira é sempre a maior, daí,
\(\frac{37}{13} =\)
\(\frac{26}{13} + \frac{11}{13} =\)
\(2 + 1 \cdot \frac{11}{13} =\)
\(2 + 1 \div \frac{13}{11} =\)
\(2 + \frac{1}{\frac{13}{11}} =\)
\(2 + \frac{1}{\frac{11}{11} + \frac{2}{11}} =\)
\(2 + \frac{1}{1 + 1 \cdot \frac{2}{11}} =\)
\(2 + \frac{1}{1 + 1 \div \frac{11}{2}} =\)
\(2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{11}{2}}} =\)
\(2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{10}{2} + \frac{1}{2}}} =\)
\(\fbox{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{5 + \frac{1}{2}}}}\)
Portanto, \(\fbox{x = 1}\), \(\fbox{y = 5}\) e \(\fbox{z = 2}\).
Com efeito,
\(\\ x^2 + y^2 + z^2 = {1} + {25} + {4} \\\\ x^2 + y^2 + z^2 = {30} \\\\ x^2 + y^2 + z^2 = {2} \cdot {3} \cdot {5} \\\\ x^2 + y^2 + z^2 = {2}^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1\)
Obtemos a quantidade de divisores somando 1 a cada expoente (de cada base) e multiplicando-os.
Por fim,
\(\\ (1 + 1) \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 1) = \\\\ 2 \cdot 2 \cdot 2 = \\\\ \fbox{\fbox{8}}\)