Quais são as possibilidades para os restos quando dividimos um número n = a^2 por 3, 5 ou 6?

[Mattioli]

Estou com dificuldades nesse problema.

Eu começo supondo que a pode ser par ou ímpar. Ou seja, ele pode ser dado pela forma a = 2k ou a = (2k + 1)

O que faria com que n = 4k^2 ou n = 4k^2 + 4k +1

O problema é que não sei o que fazer com as letras (k's) e como achar padrões para divisões específicas.

Obrigado.

[Fraol]

Boa noite,

Quando se divide por 3, os restos possíveis são 0, 1 e 2. Em geral, quando se divide um n, inteiro positivo, por k, inteiro positivo, as possibilidades são os números de 0 até k-1.

[Walter R]

Boa noite! Acho que neste caso há uma restrição adicional.
qualquer que seja a, ele pode ser escrito como a=q3, a=q3+1 ou a=q3+2. Se a=q3, a^2= (q3)^2=9q^2=3(q^2)+0. Se a=q3+1, a^2=(q3+1)^2=9q^2+6q+1=3(3q^2+2q)+1. Se a=q3+2, a^2=(q3+2)^2=9q^2+12q+4=3(3q^2+4q+1)+1. Logo,os restos possíveis da divisão de a^2 por 3 são zero e um. De modo inteiramente análogo procede-se para os outros casos. Desculpem-me por nao utilizar o editor de formulas: nao estava funcionando bem.

[Mattioli]

Um pouco depois de ter postado, pensei em resolver de um jeito não muito inteligente, por artimética modular.

Como n = a^2, então sempre temos o mesmo numero multiplicado. Com isso pensei nos restos possíveis na divisão, por exemplo, de 3, que são: 0, 1 e 2.

Então, joguei as possíveis congruências:

0*0 = 0 (mod 3)
1*1 = 1 (mod 3)
2*2 = 4 = 1 (mod 3)

Sendo os únicos restos possíveis 0 e 1.

Mas a sua resposta é mais completa e inteligente.

Enfim, obrigado aos dois pelas respostas!