Dúvida sobre mdc em Álgebra I

[André Pedreira]

Bom tarde.

Posso afirmar que mdc(a,b) = mdc(b,a) ?


Grato!

[Fraol]

Sim, pode. Consegue provar?

[André Pedreira]

Por algoritmo da divisão seria a=bq+r.
Ex.:
mdc(4,2) = 2 -> 4=2*(2)+0
mdc(2,4) = 2 -> 2=4*(1)-2
Ou seja, mdc(4,2)=mdc(2,4) = +- 2

Só não sei se essa explicação vale a minha pergunta.

[André Pedreira]

Por algoritmo da divisão seria a=bq+r.
Ex.:
mdc(4,2) = 2 -> 4=2*(2)+0
mdc(2,4) = 2 -> 2=4*(1)-2
Ou seja, mdc(4,2)=mdc(2,4) = +- 2

Só não sei se essa explicação vale a minha pergunta.

Obs.: Em Z

[Fraol]

Você mostrou um caso particular. Mas creio que não haja necessidade de uma prova mais formal, a própria definição de MDC não se refere à ordem dos números: é um divisor comum de dois números tal que quaisquer outros divisores comuns desses mesmos números ou são menores ou são iguais a esse divisor (máximo). Veja, esta é a opinião, referente à necessidade de provar, de um entusiasta matemático. Pode ser que algum colega aqui no fórum contradiga ou melhore nossa discussão.