Desvio padrão maior que a média

[danieleoliveira.mat]

Olá, gostaria de saber como interpretar quando o desvio padrão é maior que a média. Pois nesse caso um dos valores ficaria negativo. Sei que desvio padrao maior que a media significa que os valores estão variando bastante, mas trabalho numa empresa e preciso explicar para os meus chefes o desvio padrão da media dos valores dos preços dos produtos. Como faço? Obrigada desde já.
att. Daniele

[Baltuilhe]

Boa tarde, Daniele!

Média Aritmética nos dá um valor 'intermediário' dentre todos os valores da distribuição.
Valores extremos 'puxam' a média para o seu lado. Por exemplo, em uma distribuição {1,2,3,1000}, o valor 1000 irá puxar o valor da média para o seu lado, mesmo tendo mais valores próximos entre si (tais como o {1,2,3}).

Desvio-Padrão já nos entrega uma 'distância média' entre todos os valores e a média. Com base nesta ideia, podemos argumentar que, somando-se (ou subtraindo-se) um valor fixo a todos os valores de uma distribuição, sua média fica alterada, mas seu desvio-padrão, não.

Vamos calcular em um exemplo:
\(\begin{tabular}{r|c}
\hline
X & X^2\\
\hline
100 & 10000\\
100 & 10000\\
101 & 10201\\
101 & 10201\\
110 & 12100\\
\hline
\sum = 512 & 52502
\hline
\end{tabular}\)

Média:
\(\mu = \frac {\sum X}{N}
\mu = \frac {512}{5}
\mu = 102,4\)

Desvio-padrão:
\(\sigma = \sqrt {\frac {\sum X^2}{N}- {\left (\frac {\sum X}{N} \right )}^2}
\sigma = \sqrt {\frac {52502}{5}- {\left (\frac {512}{5} \right )}^2}
\sigma = \sqrt {10500,4- {102,4}^2}
\sigma = \sqrt {10500,4- 10485,76}
\sigma = \sqrt {14,64} \approx 3,826\)

Então, para um valor médio de 102,4, este valor oscilou, em média, 3,826 em torno da média.

Vamos montar agora uma distribuição idêntica à anterior, mas tirando 99 de cada valor (X-99).
Todos os valores continuarão mantendo a mesma distância em relação ao valor da média, pois a média também diminuirá de 99.
Veja:

\(\begin{tabular}{r|c}
\hline
X & X^2\\
\hline
1 & 1\\
1 & 1\\
2 & 4\\
2 & 4\\
11 & 121\\
\hline
\sum = 22 & 131
\hline
\end{tabular}\)

Média:
\(\mu = \frac {\sum X}{N}
\mu = \frac {22}{5}
\mu = 3,4\)

Desvio-padrão:
\(\sigma = \sqrt {\frac {\sum X^2}{N}- {\left (\frac {\sum X}{N} \right )}^2}
\sigma = \sqrt {\frac {131}{5}- {\left (\frac {22}{5} \right )}^2}
\sigma = \sqrt {26,2- {3,4}^2}
\sigma = \sqrt {26,2- 11,56}
\sigma = \sqrt {14,64} \approx 3,826\)


Observe que a nova média é de 102,4-99 = 3,4.
Veja que o valor do desvio-padrão NÃO se alterou.
Então, interpretando o resultado da mesma forma, para um valor médio de 3,4, este valor oscilou, em média, 3,826 em torno da média.(!)

Será que ajuda um pouco a conseguir explicar o que quer, Daniele?

Abraços!

[danieleoliveira.mat]

Olá, antes de mais nada gostaria de agradecer a tua resposta, mas infelizmente ainda fiquei com duvidas. Vou explicar a minha situação, minha média de preços deu 200 reais e meu desvio padrão 300. Como interpreto isso? Os valores estão variando 300 reais em relação à media? 200 (media) +300 (desvio) e 200(media) - 300 desvio? nesse ultimo o valor fica negativo, nao entendo isso. Obrigada desde ja. Att, Daniele

[Fraol]

Bom dia,

Por favor, deixem-me intrometer nesta interessante conversa.

Como você danieleoliveira.mat disse, os dados estão variando muito e é isso mesmo o que os números indicam. Eu explicaria para o meu chefe (apesar de que ele entende ainda menos matemática do que eu ...) que estes números estão dizendo que os preços estão muito dispersos e que talvez fosse melhor agrupar os preços de acordo com a natureza dos produtos.

Pois se eu estiver, por exemplo calculando a média de preços num hipermercado, usando o preço de uma caixa de fósforo (R$ 1,90), o preço de um kg de picanha (R$ 32,00), o preço de um eletroeletrônico (R$ 999,99), etc... É bem possível de que o desvio padrão seja alto, até mesmo maior do que a média.

Matematicamente, a explicação é que se a distribuição dos preços que você usou para calcular a média fosse normal (quase sempre não é), então esse 300 seu indicaria que aproximadamente 67% dos preços estão entre -100 e 500 (1 desvio padrão) - o que para o chefe, e pra gente também, não diz nada.

[danieleoliveira.mat]

Nossa mto obrigada. Me ajudou bastante, vou ver se consigo agrupar os dados que tenho. E aproveitando a qualidade das resposta que estou recebendo, gostaria de saber qual a melhor forma de explicar o desvio padrão pra quem não entende nada sobre isso. Posso dizer que desvio padrão é a média dos desvios de cada unidade? E percebi que alguns valores "fogem" da relação "média +/- desvio padrao". Pois estao mto mais distantes do valor da média do que o limite do desvio padrao permite. Pesquisei na internet e vi que existe situações onde o preço pode estar a dois desvios padrões, ou três... Mas tudo que encontro se aplica a situações onde a distribuição é normal. Como devo proceder?

[Fraol]

O desvio padrão serve para mostrar como os dados estão distribuídos, normalmente, em torno da média. No caso acima citei 1 desvio padrão, -100 a 500. Mas você pode ter dados a 2 desvios padrões da média, por exemplo um valor 600 ou 610.
Tomei uma figura da web (aqui...) para tentarmos visualizar isso:

prob_est2_normal_02.png (5.79 KiB) Visualizado 10214 vezes

Nela pode-se observar que quando a amostra de dados obedece a distribuição normal (existem outros tipos de distribuição) a maior parte dos valores (~67%) estão a +/- 1 desvio padrão da média, uma outra parte menor está a +/- 2 desvios padrões e assim por diante.

[Fraol]

Em outras palavras, pode ser que os seus dados não se apresentam na forma da distribuição normal. Então seria melhor encontrar qual é tipo de distribuição deles. Ou então usar outras medidas estatísticas de dispersão como a variância (num gráfico, possivelmente você veria os grupos de aglutinamento dos seus preços) ou a co-variância. Haveria necessidade de estudar e elaborar um pouco sobre essas métricas.