Função do Segundo grau - determinar se possui máximo ou minimo

[davi.simões]

(ITA-80) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a curva y = ax² + bx + c passa pelos pontos (1, 1) , (2, m) e (m, 2), onde m é um numero real diferente de 2. Sobre esta curva podemos afirmar que:

a) Ela admite um minimo para todo m tal que 1/2 < m < 3/2.
b) Ela admite um minimo para todo m tal que 0 < m < 1.
c) Ela ad mite um máximo para todo m tal que -1/2 < m < 1/2.
d) Ela admite um máximo para todo m tal que 1/ 2 < m < 3/2.
e) Ela admite um máximo para todo m tal que 0 < m < 1.

[jorgeluis]

1. como a curva y = ax² + bx + c , tem a>0,

então, m tem ponto mínimo.

2. se passa pelos pontos (1,1) , (2,m) e (m,2)

então, podemos dizer que (2,m) é ponto médio de (1,1) e (m,2)
\(\frac{1+|m|}{2}=2
|m|=3\)
ou
\(\frac{1+2}{2}=|m|
|m|=\frac{3}{2}\)

se, m\(\neq2\)
e,
\(-3 \leq m \leq 3
\cap
-\frac{3}{2} \leq m \leq \frac{3}{2}\)
=
\(-\frac{3}{2} \leq m \leq \frac{3}{2}\)

opção possível: a

[Sobolev]

O enunciado não permite concluir que a>0, nem é legítimo assumir que um dos pontos é o ponto médio entre os outros dois... O polinómio de grau menor ou igual a 2 que passa nos pontos dados é fácil de calcular, e é dado por

\(p(x) = 1+(m-1)(x-1) - \frac{m}{m-1} (x-1)(x-2)\)

Vemos que o coeficiante de \(x^2\) é dado por \(-\frac{m}{m-1}\). Assim, se 0<m<1, o coeficiente de \(x^2\) é positivo e a função atingirá por isso um mínimo. A opção b) está corrrecta.