Diferença de conjuntos (simplificação)

[Isa16]

Bom dia,

Demonstre a igualdade algebricamente:

(A-B)∩(A-C) = (A-C)-(B-C)

Ps: Tentei de todas as maneiras que conheço, cheguei até a inventar coisas, mas não consegui fazer.

Agradeço desde já!

[lucasgg]

Veja que o C em (B-C) é redundante, pois (A-C)-(B-C) = (A-C)-B (é possível demonstrar isso através do diagrama de Venn).

Deve ser por isso que você não chega em (A-C)-(B-C) através das transformações algébricas elementares.

Uma alternativa é demonstrar a equivalência (A-B)∩(A-C) = (A-C)-B e depois afirmar que (A-C)-B = (A-C)-(B-C), portanto (A-B)∩(A-C) = (A-C)-(B-C).

[Rui Carpentier]

Olá,
uma altenativa à resolução do(a) usuário(a) Isa16 é começar pelo lado direito da equação:
\((A-C)-(B-C)=(A-C)\cap (B-C)^c =(A\cap C^c)\cap (B\cap C^c)^c = (A\cap C^c)\cap (B^c\cup C) =
((A\cap C^c)\cap B^c)\cup ((A\cap C^c)\cap C)= A\cap C^c \cap B^c=A\cap C^c \cap A\cap B^c = (A-B)\cap(A-C)\)

PS: Creio que não seja problema para si mas se tiver dúvidas no significado de \(X^c\) ou das regras usadas (distribuitividade, lei de DeMorgan, etc) eu serei mas detalhado na resolução.