A interseção infinita de conjuntos abertos não necessariamente é aberta. Prove a seguinte Proposição:
21 mar 2016, 18:56
Prezados...
Estou "quebrando a cabeça" pra resolver a questão abaixo.
Preciso demais do auxílio de vocês.
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Re: A interseção infinita de conjuntos abertos não necessariamente é aberta. Prove a seguinte Proposição:
22 mar 2016, 00:13
Um elemento de uma interseção (finita ou infinita) de conjuntos é um elemento que pertence a todos os conjuntos envolvidos na interseção.
Assim, para mostrar que \(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\{0\}\) basta verificar que \(0\in A_n\) para qualquer \(n\in\mathbb{N}\) (o que é óbvio) e que para qualquer outro número \(x\not= 0\) existe um natural n tal que \(x\not\in A_n\) (o que é garantido pela propriedade arquimediana dos números reais: \(\forall {}_{a,b\in\mathbb{R}^+} \exists {}_{n\in\mathbb{N}} na>b\) (aqui para o caso basta tomar \(a=|x|\) e \(b=1\) para mostrar que para qualquer \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\) existe \(n\in\mathbb{N}\) tal que \(|x|>\frac{1}{n}\) e portanto \(x\not\in A_n\))).
Assim, para mostrar que \(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\{0\}\) basta verificar que \(0\in A_n\) para qualquer \(n\in\mathbb{N}\) (o que é óbvio) e que para qualquer outro número \(x\not= 0\) existe um natural n tal que \(x\not\in A_n\) (o que é garantido pela propriedade arquimediana dos números reais: \(\forall {}_{a,b\in\mathbb{R}^+} \exists {}_{n\in\mathbb{N}} na>b\) (aqui para o caso basta tomar \(a=|x|\) e \(b=1\) para mostrar que para qualquer \(x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\) existe \(n\in\mathbb{N}\) tal que \(|x|>\frac{1}{n}\) e portanto \(x\not\in A_n\))).