Função real de variável real e função inversa

[Carmen]

Considere a função inversa da função f definida por f(x)=x+\(\sqrt{x-2}\). Os pontos A(x,2) e B(8,y) pertencem à inversa de f.
a) recorrendo apenas á função f determina as coordenadas dos pontos A e B
b) determine as coordenadas do ponto do gráfico da inversa de f de abcissa 14

Podem ajudar-me. Obrigado

[Estanislau]

Sabe como verificar que um ponto pertence ao gráfico de uma função?

[Carmen]

Sim sei, não consigo é escrever a equação da função inversa

[Sobolev]

Não tem que obter uma expressão para a inversa... Veja por exemplo a alínea b) Um ponto no domínio da inversa estará no contra domínio da função, deste modo, um ponto de abcissa 14 no gráfico da inversa corresponde a um ponto com ordenada 14 no gráfico da função. Determinemos então o ponto com ordenada 14 no gráfico da função:

\(f(x)=14 \Leftrightarrow x + \sqrt{x-2} = 14\)

Escrevendo \(t=\sqrt{x-2}\) a equação anterior reduz-se a \(t^2+t-12 = 0 \Leftrightarrow t = 3 \vee t = -4\).

Como t é positivo, a única solução é \(t = 3\), isto é, \(\sqrt{x-2} = 3\), ou ainda \(x=11\). O ponto que procura é por isso o ponto (14,11).

[Estanislau]

A mesma coisa analiticamente: o ponto (a, b) pertence ao gráfico de uma função g se, e somente se g(a) = b. Em particular, o ponto (a, b) pertence ao gráfico de \(f^{-1}\) se, e somente se \(f^{-1}(a) = b\), o que equivale a \(f(b) = a\). É muito simples.