Equação e Inequação de 2 grau

[petras]

Alguém poderia ajudar: Considere a equação x+√(x2+x+m)=m, onde m é um número real.
Determine o conjunto dos valores de m, para os quais a equação possui uma raiz real. R: {m ∊ R / - 2≤ m<-1/2 ou m≥ 0}
Desde já grato

[jorgeluis]

\(x+\sqrt{x^2+x+m} = m\)

condição necessária:
\(x=m
e
\sqrt{x^2+x+m}={0}\)

assim,
\(x^2+x+m={0}
m^2+m+m={0}
m^2+2m={0}
m(m+2)={0}
m={0}
ou
m=-2\)

[Estanislau]

A equação equivale a
\(\sqrt{x^2 + x + m} = m - x\)
Ora essa última é equivalente ao sistema
\(\left\{
\begin{array}{l}
x^2 + x + m = (m - x)^2\\
m - x \ge 0
\end{array}
\right.\)
A primeira equação é de facto linear, ainda o problema de encontrar os valores de m quando o sistema possui uma solução parece bastante fácil.

O mais importante aqui é o facto de a equação
\(\sqrt{f(x)} = g(x)\)
ser equivalente ao sistema
\(\left\{
\begin{array}{l}
f(x) = (g(x))^2\\
g(x) \ge 0
\end{array}
\right.\)
Isso é, a equação e o sistema têm exatamente as mesmas soluções. Porém, a demonstração é fácil. Se x0 for uma solução de equação, temos a igualdade
\(\sqrt{f(x_0)} = g(x_0)\)
Por definição, a raíz quadrada é não negativa, onde g(x0) ≥ 0. Levando a igualdade ao quadrado, temos
\(f(x_0) = (g(x_0))^2\)
Então, x0 é uma solução do sistema.

Ora seja x0 uma solução do sistema. Então
\(f(x_0) = (g(x_0))^2\quad g(x_0) \ge 0\)
O lado dextro da igualdade é um quadrado, portanto é não negativo, então o lado sinistro também o é. Consequentemente, pode-se extrair a raíz:
\(\sqrt{f(x_0)} = |g(x_0)|\)
Porém, de acordo com a desigualdade g(x0) ≥ 0 o lado dextro é igual a g(x0). Assim, x0 é a solução da equação.

condição necessária:

Sem comentários...

[petras]

[quote="Estanislau"]A equação equivale a
\(\sqrt{x^2 + x + m} = m - x\)
Ora essa última é equivalente ao sistema
\(\left\{
\begin{array}{l}
x^2 + x + m = (m - x)^2\\
m - x \ge 0
\end{array}
\right.\)
A primeira equação é de facto linear, ainda o problema de encontrar os valores de m quando o sistema possui uma solução parece bastante fácil.

O mais importante aqui é o facto de a equação
\(\sqrt{f(x)} = g(x)\)
ser equivalente ao sistema
\(\left\{
\begin{array}{l}
f(x) = (g(x))^2\\
g(x) \ge 0
\end{array}
\right.\)
Isso é, a equação e o sistema têm exatamente as mesmas soluções. Porém, a demonstração é fácil. Se x0 for uma solução de equação, temos a igualdade
\(\sqrt{f(x_0)} = g(x_0)\)
Por definição, a raíz quadrada é não negativa, onde g(x0) ≥ 0. Levando a igualdade ao quadrado, temos
\(f(x_0) = (g(x_0))^2\)
Então, x0 é uma solução do sistema.

Ora seja x0 uma solução do sistema. Então
\(f(x_0) = (g(x_0))^2\quad g(x_0) \ge 0\)
O lado dextro da igualdade é um quadrado, portanto é não negativo, então o lado sinistro também o é. Consequentemente, pode-se extrair a raíz:
\(\sqrt{f(x_0)} = |g(x_0)|\)
Porém, de acordo com a desigualdade g(x0) ≥ 0 o lado dextro é igual a g(x0). Assim, x0 é a solução da equação.

Não entendi. Você fez a demonstração mas como chegar a resposta?

[Estanislau]

A equação equivale[b] a
\(\sqrt{x^2 + x + m} = m - x\)
Ora essa última [b]é equivalente ao sistema
\(\left\{
\begin{array}{l}
x^2 + x + m = (m - x)^2\\
m - x \ge 0
\end{array}
\right.\)
A primeira equação é de facto linear, ainda o problema de encontrar os valores de m quando o sistema possui uma solução parece bastante fácil.

A sua equação e o sistema são equivalentes, isso é, têm o mesmo conjunto solução. Portanto basta estudar o sistema, o que é fácil. Está a perceber ou não?

[petras]

A equação equivale[b] a
\(\sqrt{x^2 + x + m} = m - x\)
Ora essa última [b]é equivalente ao sistema
\(\left\{
\begin{array}{l}
x^2 + x + m = (m - x)^2\\
m - x \ge 0
\end{array}
\right.\)
A primeira equação é de facto linear, ainda o problema de encontrar os valores de m quando o sistema possui uma solução parece bastante fácil.

A sua equação e o sistema são equivalentes, isso é, têm o mesmo conjunto solução. Portanto basta estudar o sistema, o que é fácil. Está a perceber ou não?

Tentei resolver o sistema mas ainda não consegui.
x² + x + m = m² -2mx + x² -> x + m = m² - 2mx -> x = m² -2mx - m
m-x ≥ 0 -> m -(m² -2mx - m) -> -m² +2mx + 2m >0

[Estanislau]

Não resolveu a equação linear. m é dado, x é a incógnita. Tente outra vez. É preciso resolver a equação com respeito a x. Geralmente, uma equação linear pode ser reduzida à forma
Ax = B
Se A ≠ 0, a solução é única. Se A = 0 e B = 0, cada número é uma solução. Se A = 0 e B ≠ 0, não há soluções.

[petras]

Não resolveu a equação linear. m é dado, x é a incógnita. Tente outra vez. É preciso resolver a equação com respeito a x. Geralmente, uma equação linear pode ser reduzida à forma
Ax = B
Se A ≠ 0, a solução é única. Se A = 0 e B = 0, cada número é uma solução. Se A = 0 e B ≠ 0, não há soluções.

Isolando o x teremos x = m² -2mx - m -> x+2mx = m² - m -> x (1+2m) = m² - m -> x = x = (m² - m) / 1 +2m

Como m-x ≥ 0 (Substituindo x) -> m - (m² - m) / 1 +2m -> (m + 2m² - m² + m) / (1 +2m) ≥ 0 ->
(m² + 2m) / (1 +2m) ≥ 0
Estudando o sinal:
+++++[-2]--------------------[0]+++++ (m² + 2m)
-------------------(-1/2)+++++++++++(1+2m)
---------[-2]+++(-1/2)-------[0]+++++
S = -2 ≤ m <-1/2 ou m >0

Creio que é isso . Grato Estanislau.

[Estanislau]

Exatamente!

Só um pouco mais cuidado a dividir por uma expressão. Temos
(1+2m) x = m^2 - m
O coeficiente no lado esquerdo é igual a 0 se m = -1/2. Assim, temos duas possibilidades.

Se m = -1/2, o lado esquerdo é zero, mas o lado direito não o é. Portanto, a equação não tem soluções. Não estamos interessados.

Se m ≠ -1/2, a equação tem a única solução x = (m^2 - m)/(1 + 2m). Para encontrar os valores de m quando esta solução satisfaz a inequação, substituimos e resolvemos a inequação com respeito a m, como o petras já escreveu.

Muitas vezes problemas desse tipo são mais complicadas ao nível da lógica do que cálculo.

[petras]

Não resolveu a equação linear. m é dado, x é a incógnita. Tente outra vez. É preciso resolver a equação com respeito a x. Geralmente, uma equação linear pode ser reduzida à forma
Ax = B
Se A ≠ 0, a solução é única. Se A = 0 e B = 0, cada número é uma solução. Se A = 0 e B ≠ 0, não há soluções.

Isolando o x teremos x = m² -2mx - m -> x+2mx = m² - m -> x (1+2m) = m² - m -> x = x = (m² - m) / 1 +2m

Como m-x ≥ 0 (Substituindo x) -> m - (m² - m) / 1 +2m -> (m + 2m² - m² + m) / (1 +2m) ≥ 0 ->
(m² + 2m) / (1 +2m) ≥ 0
Estudando o sinal:
+++++[-2]--------------------[0]+++++ (m² + 2m)
-------------------(-1/2)+++++++++++(1+2m)
---------[-2]+++(-1/2)-------[0]+++++
S = -2 ≤ m <-1/2 ou m >0
Creio que é isso . Grato Estanislau.

Apenas corrigindo S = - 2 ≤ m <-1/2 ou m ≥ 0