Soma direta com matrizes simétricas e antissimétricas

[rorschach]

Prove que o conjunto S das matrizes simétricas e o conjunto A das matrizes antissimétricas 2x2 são subespaços vetoriais de \(M_{3}(\mathbb{R})\)
e que \(M_{3}(\mathbb{R})\) = \(S \bigoplus A\).

[Sobolev]

\(A = \frac 12 (A+A^T) + \frac 12 (A- A^T)\)

Sendo que \(A+A^T\) é simétrica e \(A-A^T\) é anti-simétrica. Consegue avançar?

[rorschach]

Não. Por que a soma está igualada a A e cada termo está multiplicado por 1/2?

[Sobolev]

Se fizer a soma do lado direito da igualdade verá que dá precisamente A. Como a primeira parcela é simétrica e a segunda parcela é anti-simétrica, aquela igualdade justifica que, realmente, qualquer matriz pode ser escrita como a soma de uma simétrica com outra anti-simétrica.

[Engenet]

Obrigado. Entendi essa parte.

Mas como matrizes 2x2 são capazes de gerar uma matriz que pertence a M3(|R)?

[Sobolev]

É erro no enunciado... As dimensões têm que ser as mesmas, ou teria que ser sugerido algum isomorfismo entre as matrizes de dimensão 2 e um subespaço das matrizes de dimensão 3. Portanto, ou é tudo 2x2 ou tudo 3x3. A demonstração não depende da dimensão.

[Engenet]

Entendi. Obrigado.