Soma de Potências Cúbicas Padronizadas

[petras]

Qual o valor da expressão: (R:1584)
\(1^3-2^3-3^3+4^3+5^3-6^3-7^3+8^3+9^3...+29^3-30^3-31^3+32^3\)

[pedrodaniel10]

\(1^3-2^3-3^3+4^3+5^3-6^3-7^3+8^3+9^3...+29^3-30^3-31^3+32^3=1^3-2^3-3^3+\sum_{k=1}^{8}(4k)^3+\sum_{k=1}^{7}(4k+1)^3-\sum_{k=1}^{7}(4k+2)^3-\sum_{n=1}^{7}(4k+3)^3\)

Ora temos que:
\(\sum_{k=1}^{n}(4k)^3=64\sum_{k=1}^{n}k^{\underline{1}}+3k^{\underline{2}}+k^{\underline{3}}=64\left [ \frac{k(k-1)}{2}+k(k-1)(k-2)+\frac{k(k-1)(k-2)(k-3)}{4}\right ]_1^{n+1}=64\left [\frac{(n+1)n}{2}+(n+1)n(n-1)+\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{4} \right ]=16n^2(n+1)^2
\sum_{k=1}^{n}(4k+c)^3=\sum_{k=1}^{n}(c^3 + 12 c^2 k + 48 c k^2 + 64k^3)=\left [ c^3k+6c^2k(k-1)\right ]_1^{n+1}+16n^2(n+1)^2+48c\sum_{k=1}^{n}k^2
\sum_{k=1}^{n}k^2=\sum_{k=1}^{n}k^{\underline{1}}+k^{\underline{2}}=\left [ \frac{k(k-1)}{2}+\frac{k(k-1)(n-2)}{3} \right ]_1^{n+1}=\frac{(n+1)n}{2}+\frac{(n+1)n(n-1)}{3}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\sum_{k=1}^{n}(4k+c)^3=c^3(n+1)+6c^2(n+1)n-c^3+16n^2(n+1)^2+8cn(n+1)(2n+1)\)

Assim podemos concluir:
\(\sum_{k=1}^{8}(4k)^3=16\times 8^2\times 9^2=82944\)

\(\sum_{k=1}^{7}(4k+1)^3\)\(=1^3\times 8+6\times 1^2\times 8\times 7-1^3+16\times 7^2\times 8^2+8\times 1\times 7\times 8\times 15=57239\)

\(\sum_{k=1}^{7}(4k+2)^3\)\(=2^3\times 8+6\times 2^2\times 8\times 7-2^3+16\times 7^2\times 8^2+8\times 2\times 7\times 8\times 15=65016\)

\(\sum_{k=1}^{7}(4k+3)^3\)\(=3^3\times 8+6\times 3^2\times 8\times 7-3^3+16\times 7^2\times 8^2+8\times 3\times 7\times 8\times 15=73549\)

Substituindo na primeira equação temos como resultado:
\(1^3-2^3-3^3+4^3+5^3-6^3-7^3+8^3+9^3...+29^3-30^3-31^3+32^3=1^3-2^3-3^3+82944+57239-65016-73549=1584\)

Obs. Por notação:
\(k^{\underline{n}}=\underbrace{k(k-1)(k-2)...(k-[n-1])}\\ \mathrm{\; \; \; \; \; \; \;\; \;\; \;\;\;\;\; \; n \: fatores}\)

[petras]

Grato pedro, bem mais complexo que imaginava.

[pedrodaniel10]

Como é até 32, dava talvez menos trabalho calcular à mão do que através da integração discreta. No entanto, se fosse até 50 ou mais. Eu preferiria este método.