Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

se k é maior inteiro para qual o número N=(2^k)(5^2008) quando desenvolvido possuir 2012 algarismos,a soma de algarismos de N é igual a:

\(N = 2^k \times 5^{2008}\)

Supomos que \(\fbox{k = 2008}\), então:

\(N = 2^{2008} \times 5^{2008}\)

\(N = (2 \times 5)^{2008}\)

\(N = 10^{2008}\)

Com isso, fica fácil perceber a quantidade de algarismos que \(N\) possui, veja:
- 10¹ = 10, tem 2 algarismos;
- 10² = 100, tem 3 algarismos;
- 10³ = 1000, tem 4 algarismos...

Podemos concluir que \(N\) tem apenas 2009 algarismos, certo?!

Logo, para que ele tenha 2012 algarismos, devemos multiplicá-lo por um número que tenha quatro algarismos, inclusive, seja potência de 2, pois \(k\) é expoente de 2! Temos o \(\fbox{2^{10} = 1024}\), o \(\fbox{2^{11} = 2048}\), o \(\fbox{2^{12} = 4096}\) e o \(\fbox{2^{13} = 8192}\)
De acordo com o enunciado, \(k\) é o maior inteiro, então, 8192.

Portanto,

\(N = 2^{13} \times 10^{2008}\)

\(N = 8192 \times 1\underbrace{00000000...000}_{2008}\)

\(N = 8192\underbrace{00000000...000}_{2008}\)

Logo,
\(8 + 1 + 9 + 2 + 0 + 0 + .... + 0 =\)

\(\fbox{\fbox{20}}\)

_________________
Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}

Leitão,
não entendi!

_________________
Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}