Dízima periódica
18 mar 2013, 17:24
Olá a todos,
Não consegui resolver este exercício do livro do Gelson Iezzi, página 16.
Usei tudo que foi dito nos capítulos anteriores mas o z sempre fica um número racional. O que complica tudo pois todos os x, y, z deveriam ser naturais.
Agradeço se puderem me ajudar.
Obrigado
Não consegui resolver este exercício do livro do Gelson Iezzi, página 16.
Usei tudo que foi dito nos capítulos anteriores mas o z sempre fica um número racional. O que complica tudo pois todos os x, y, z deveriam ser naturais.
Agradeço se puderem me ajudar.
Obrigado
- Anexos
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Re: Dízima periódica
18 mar 2013, 23:27
Repare que pelos dados, ou seja pela regra da divisão, sabe-se que
\(z\times y +8=x\)
dividindo tudo por \(y\)
\(z +\frac{8}{y}=\frac{x}{y}\)
\(z +\frac{8}{y}=7,(36)\)
\(z\times y +8=x\)
dividindo tudo por \(y\)
\(z +\frac{8}{y}=\frac{x}{y}\)
\(z +\frac{8}{y}=7,(36)\)
Re: Dízima periódica
19 mar 2013, 17:37
Relembrando as séries geométricas podemos ver que
\(7.36(36) = 7 + \frac{36}{10^2}+\frac{36}{10^4}+ \cdots = 7 +36 \sum_{i=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{100}\right)^i = 7 + \frac{36}{99} =\frac{81}{11}\)
vemos portando que \(\frac{x}{y} =\frac{81}{11}\). Como por outro lado sabemos que \(zy+8=x\) vemos facilmente (continhas) que y deve ser divisor de 88. Por simples tentativas com os divisores de 88, e usando as várias relações deduzidas, vemos que a única configuração com x,y,z números naturais é x = 162, y=22 e z = 7, o que significa que x+y+z = 191.
\(7.36(36) = 7 + \frac{36}{10^2}+\frac{36}{10^4}+ \cdots = 7 +36 \sum_{i=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{100}\right)^i = 7 + \frac{36}{99} =\frac{81}{11}\)
vemos portando que \(\frac{x}{y} =\frac{81}{11}\). Como por outro lado sabemos que \(zy+8=x\) vemos facilmente (continhas) que y deve ser divisor de 88. Por simples tentativas com os divisores de 88, e usando as várias relações deduzidas, vemos que a única configuração com x,y,z números naturais é x = 162, y=22 e z = 7, o que significa que x+y+z = 191.