Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

prove a seguinte propriedade
p(n): 1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n!=(n+1)!-1

Olá caro regis, bom dia.



Veja que \(p(1)\) é verdadeira.

Vamos assumir a hipótese de indução: \(p(n): 1.1! + 2.2! + 3.3! +...+ n.n! =(n+1)! - 1\) como verdadeira.

Então verifiquemos \(p(n+1)\):

\(p(n+1): 1.1! + 2.2! + 3.3! +...+ n.n! + (n+1).(n+1)! - 1\)

= \(p(n) + (n+1).(n+1)!\)

=\((n+1)! - 1 + (n+1).(n+1)!\)

=\((n+1)!(1 + n + 1) - 1\)

=\((n+1)!(n + 2) - 1\)

=\((n + 2)! - 1\)

Portanto, de acordo com o princípio da indução finita p(n), conforme acima, é válida para todo \(n \in N\).

_________________
Fraol
_{Você também pode contribuir, se souber alguma questão responda ou participe da discussão. Divulgue nosso forum.}