Questão Notável - Difícil

[samukahn]

Olá, encontrei essa questão e nem passei perto da resposta. Alguém me ajuda, por favor?

Calcule o valor numérico de \(1/10M\)
, sabendo que \(M+2= \sqrt{a2/b2+b2/a2+2}\), e a=0,998 e b=1.

[João P. Ferreira]

eu não percebo bem se é \(\frac{1}{10}M\) ou \(\frac{1}{10 M}\)

pode esclarecer???

[samukahn]

é \(\frac{1}{10M}\).

[Mauro]

Eu achei zero para M de modo que a resposta seria Infinito.

Olá, encontrei essa questão e nem passei perto da resposta. Alguém me ajuda, por favor?

Calcule o valor numérico de \(1/10M\)
, sabendo que \(M+2= \sqrt{a2/b2+b2/a2+2}\), e a=0,998 e b=1.

eu achei M=0. A resposta assim seria infinito porque dados 'a' e 'b' o radicando da 4, que resulta 2. Passando o 2 do primeiro membro para o segundo da zero.

[Fraol]

Boa noite,

Se \(a2\) e \(b2\) forem \(a \cdot 2\) e \(b \cdot 2\), então a resposta do Mauro faz sentido ...

[samukahn]

Achei a resposta em outro site:

a²/b²+b²/a²+2/1

mmc=a².b²1=a²b²

Multiplicando tudo por a²b², temos:

a².a².b²/b²+b².a².b²/a²+2.a².b²=

=a^4+b^4+2.a².b²

Dividindo tudo por a².b² para não alterar o valor da expressão, temos:

(a^4+b^4+2.a².b²)/(a².b²)

Mas a^4+2.a².b²+b^4=(a²+b²)². Logo a expressão fica:

(a²+b²)²/(a²b²)

raiz[(a²+b²)²/(a²b²)]=(a²+b²)/(a.b)

Logo:

M = -2 + raiz[(a²/b²)+(b²/a²)+2)]

M=-2 +(a²+b²)/(a.b)

Substituindo a=0,998 e b=1, temos:

M=-2+(0,998²+1²)/(0,998.1)

M=-2+(0,998²+1)/0,998

M=-2+0,998²/0,998+1/0,998

M=-2+0,998+1/0,998

M=-2+0,998+1,002004008

M=-2+2,000004008

M=0,000004008

Resposta:....M=0,000004008

[Fraol]

Olá samukahn,

...

Resposta:....M=0,000004008

Veja que o Mauro também chegou nesse M e avançou para dar a resposta pedida \(\frac{1}{10M}\) e aí você tem uma divisão por quase 0 que leva ao ao infinito, certo?.

[samukahn]

Me desculpa, gente... transcrevi errado. É a inexperiência no fórum. Copiei e colei do site que eu vi. O que eu quis dizer era: \(M+2=\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+2}\)


Obrigado e me desculpem. Também resolvi da forma que vcs resolveram pra ver no que dava e era aquilo mesmo, Mauro! valeu!
Valeu, Fraol!

[Mauro]

Me desculpa, gente... transcrevi errado. É a inexperiência no fórum. Copiei e colei do site que eu vi. O que eu quis dizer era: \(M+2=\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+2}\)


Obrigado e me desculpem. Também resolvi da forma que vcs resolveram pra ver no que dava e era aquilo mesmo, Mauro! valeu!
Valeu, Fraol!

Agora me compliquei, amigos Fraol e Samukahn. Fui desenvolver diferentemente e achei um absurdo. Vejamos, na linha do desenvolvimento feito pelo Samukahn, mas de jeito diferente:

\(M+2 = \sqrt{{\frac{a^2}{b^2}}+{\frac{b^2}{a^2}}+2}\)

Se eu fizer, para melhorar a visualização

\(x={\frac{a^2}{b^2}}\)

e acredito que, como a segunda parcela é o inverso da primeira, possa escrever

\({\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{x}\)

o original ficaria:

\(M+2 = \sqrt{x+{\frac{1}{x}+2}\)

\((M+2)^2 = {x+{\frac{1}{x}+2}\)

\(M^2+4M+4 = {x+{\frac{1}{x}+2}\)

\(M^2+4M+2 = {x+{\frac{1}{x}}\)

Como 'a' e 'b' foram dados,

\(M^2+4M+2 = {0,996+1,004}\)


\(M^2+4M =0\)

\(M^2 = -4M\)

Epa!!!!!!

Não existe uma potência de 2 que seja negativa!!!

Onde foi que cometi um absurdo?

[Rui Carpentier]

Permitem-me entrar na discução.

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2\)

Logo,

\(M=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=a+\frac{1}{a}-2=\frac{a^2-2a+1}{a}=\frac{(1-a)^2}{a}\) (note-se que b=1).

Temos então que

\(\frac{1}{10M}=\frac{a}{10(1-a)^2}=\frac{0,998}{10\times 0,002^2}=24950\).