equacoes diofantinas

[SPAMBOT]

a questao é :ache todas as possibilidades para 54257 + 968x =z^2 (ou z elevado ao quadrado).a soluçao é 8,mas peço que resolvam isso usando equacoes diofantinas (como ternas pitagoricas,equacoes de pell) porque eu nao consegui resolvelo

[Rui Carpentier]

\(54257+968x=z^2 \Leftrightarrow x=\frac{z^2-54257}{968}=\frac{z^2-7^2}{968}-56=\frac{(z-7)(z+7)}{968}-56\)

Assim sendo, existe solução sempre que \(968=2^3\times 11^2\) divide \((z-7)(z+7)\) para algum z. Casos particulares são \(z\equiv \pm 7 mod 968\). Mas também há que juntar os casos em que \(11^2\) divide z-7 (ou z+7) e 8 divide z+7 (ou z-7), os casos em que \(2\times 11^2\) divide z-7 (ou z+7) e 4 divide z+7 (ou z-7), e os casos em que \(4\times 11^2\) divide z-7 (ou z+7) e 2 divide z+7 (ou z-7).
Note-se que o caso \(11^2\) divide z-7 (ou z+7) e 8 divide z+7 (ou z-7) é redundante (pois se 8 divide z+7 então z-7 é par e vice-versa), reduz-se aos casos \(2\times 11^2\) divide z-7 (ou z+7) e 4 divide z+7 (ou z-7) ou \(4\times 11^2\) divide z-7 (ou z+7) e 2 divide z+7 (ou z-7).

Há portanto um número infinito de soluções, não só x=8 (quando z=249). Por exemplo z=235 (\(=2\times 11^2-7\)) dá x=1.

[Rui Carpentier]

Só mais uma nota:
Fazendo \(z=242(2k+1)\pm 7\) temos sempre solução para qualquer inteiro k.