Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Bom amigos, é o seguinte, tenho uma dúvida na seguinte expressão booleana:

ABC'D+A'B'CD'+ABC'D'+A'BCD'+ABCD'+AB'CD'+ABCD

A resposta da equação simplificada é AB+CD'

Eu já tentei de tudo quanto é jeito mas eu sempre erro em alguma coisa no final, fica me sobrando AB+CD' + alguma coisa restante da expressão.
Quem puder responder com explicação em cada linha eu ficaria muito grato.

Desenvolvi e, se não me enrosquei na sopa de letrinhas, cheguei no seguinte resultado:

\(ABC'D+A'B'CD'+ABC'D'+A'BCD'+ABCD'+AB'CD'+ABCD \\ \\ = AB(C'D+C'D'+CD'+CD) + A'(B'CD'+BCD')+AB'CD' \\ \\ = AB(C'+C) + A'C(B'D'+BD')+AB'CD' \\ \\ = AB + A'C(D'(B'+B)) + AB'CD' \\ \\ = AB + A'CD' + AB'CD' \\ \\ = AB + CD'(A'+AB') \\ \\\)

As regrinhas estão um pouco enferrujadas na memória, então não recordo se é possível simplificar. O seu resultado se parece com isso?

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Fraol
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Sim amigo, é tipo esse resultado, mas na resposta final do livro está AB+CD' não compreendo o que eu tenho de fazer com esse final, ai fico na dúvida se é necessário aplicar morgan ou não.

Um detalhe que percebi na sua expressão foi a separação de de 2 letras juntas, porém separadas algumas são 5 em vez de 4.
A 5
B 5
C 5
D 2
A' 2
B' 2
C' 2
D' 5

O certo não é pegar o que mais se fica evidencial possível ?
AB = 4
A, B, C, D' = 5
Ou existe alguma exceção?

Desculpa, mas não entendi essa última colocação sua. Poderia, por favor, explicar um pouco mais?

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Fraol
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Você evidenciou AB, na contagem AB's existentes na expressão são 4. Contando CD' também são 4.
Porém, só de letra A, B, C, D' são 5. Já A', B', C', D são 2.
Fiquei na dúvida se é para evidenciar a maior quantia de letras juntas possíveis ou se é que mostrar ser em maior número total.

No momento tenho de ir a faculdade, retorno depois das 22:00 para debatermos sobre.

Ah sim, eu evidenciei AB por isso mesmo - tem 4 termos na expressão original que iniciam com AB. Ou seja comecei pelo que tinha mais. Mas podem ocorrer casos que seja melhor evidenciar algum com menos ocorrências não há uma regra definitiva.

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Fraol
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Mas eu fico indignado como fica AB+CD' não compreendo como tiraram isso, hoje a noite vou continuar tentando.

Pois é, às vezes é um ' a mais ou a menos ou o próprio gabarito. Paciência! Caso continue tentando, se avançar manda pra cá os resultados. Boa aula. Abç.

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Fraol
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Uhuuuuuuuuul, consegui! Depois de uns 4 dias tentando, cheguei a resolução da seguinte expressão ABC'D+A'B'CD'+ABC'D'+A'BCD'+ABCD'+AB'CD'+ABCD :

ABC'D+A'B'CD'+ABC'D'+A'BCD'+ABCD'+AB'CD'+ABCD
Inicialmente colocaremos A em evidência, ficando da seguinte forma:

A(BC'D+BC'D'+BCD'+B'CD'+BCD)+ A'B'CD'+A'BCD'

Era exatamente a partir da simplificação de cima que eu estava errando, eu colocava CD' em evidência, desta vez coloquei A'CD', lembrando que é necessário a aplicação de evidência dentro do parênteses, ficando da seguinte forma:

A[B(C'D+C'D'+CD'+CD)+CD'] + A'CD'

Agora evidenciamos C' e em seguida C:

A[B(C'(D+D')+C(D'+D)+CD'] + A'CD'

A[B(C'1+C1)+CD'] + A'CD'

Na álgebra de boole toda letra multiplicada por 1 resulta nela mesma, ex: A*1= A; A'*1= A'.
E toda letra somada com 1 resulta em 1. A+1 = 1; A'+1 = 1.
É necessário lembrar que letra + mesma letra negada resulta em 1 no caso de soma, no caso de multiplicação resulta em 0, ex:
A'*A= 0, pois, se o A' for 1 o A será 0, e vice e versa, na adição aonde uma for 0 e a outra 1 o resultado é 1.

Voltando a expressão ficará da seguinte forma:

A(B(C'+C)+CD') + A'CD'
A(B+CD')+A'CD'

Aplicando a propriedade distributiva teremos:
AB+ACD'+A'CD'

Evidenciando CD':
AB+CD'(A+A')

AB+CD'

Sem delongas para caso alguém pesquise sobre o mesmo no futuro a expressão resolvida:

ABC'D+A'B'CD'+ABC'D'+A'BCD'+ABCD'+AB'CD'+ABCD
A(BC'D+BC'D'+BCD'+B'CD'+BCD)+ A'B'CD'+A'BCD'
A[B(C'D+C'D'+CD'+CD)+CD'] + A'CD'
A[B(C'(D+D')+C(D'+D)+CD'] + A'CD'
A[B(C'1+C1)+CD'] + A'CD'
A(B(C'+C)+CD') + A'CD'
A(B+CD')+A'CD'
AB+ACD'+A'CD'
AB+CD'(A+A')
AB+CD'

Ah, obrigado por dispor de seu tempo para me ajudar, fraol. Grato.