Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá. Alguém poderia me ajudar a provar que isso é verdadeiro por indução?
Obrigado

\(\sum_{i = 0}^{n-1} a.q^i = \frac{a(q^n-1)}{q-1}\)

Boa noite!

Passo base, para n = 1:
\(\sum_{i = 0}^{n-1} a.q^i = a.q^0=a=\frac{a(q^1-1)}{q-1}=a\)
Passo demonstrado.

Hipótese indutiva:
Agora vamos assumir que o somatório funcione para n = k, ou seja:
\(\sum_{i = 0}^{k-1} a.q^i = \frac{a(q^k-1)}{q-1}\)

Passo Indutivo:
Vamos verificar se o somatório funciona para n = k+1.
\(\sum_{i = 0}^{(k+1)-1} a.q^i = \left(\sum_{i=0}^{k-1}a.q^i\right)+a.q^{k}=\frac{a(q^k-1)}{q-1}+a.q^{k}=\frac{a(q^k-1)+a.q^{k}(q-1)}{q-1}=\frac{aq^k-a+aq^{k+1}-aq^k}{q-1}=\frac{a(q^{k+1}-1)}{q-1}\)

Demonstrado!

Espero ter ajudado!

_________________
Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles