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| Prova por indução matemática - Resolução https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=10029 |
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| Autor: | btn6661 [ 06 dez 2015, 00:36 ] |
| Título da Pergunta: | Prova por indução matemática - Resolução |
Olá. Alguém poderia me ajudar a provar que isso é verdadeiro por indução? Obrigado \(\sum_{i = 0}^{n-1} a.q^i = \frac{a(q^n-1)}{q-1}\) |
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| Autor: | Baltuilhe [ 06 dez 2015, 02:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prova por indução matemática - Resolução |
Boa noite! Passo base, para n = 1: \(\sum_{i = 0}^{n-1} a.q^i = a.q^0=a=\frac{a(q^1-1)}{q-1}=a\) Passo demonstrado. Hipótese indutiva: Agora vamos assumir que o somatório funcione para n = k, ou seja: \(\sum_{i = 0}^{k-1} a.q^i = \frac{a(q^k-1)}{q-1}\) Passo Indutivo: Vamos verificar se o somatório funciona para n = k+1. \(\sum_{i = 0}^{(k+1)-1} a.q^i = \left(\sum_{i=0}^{k-1}a.q^i\right)+a.q^{k}=\frac{a(q^k-1)}{q-1}+a.q^{k}=\frac{a(q^k-1)+a.q^{k}(q-1)}{q-1}=\frac{aq^k-a+aq^{k+1}-aq^k}{q-1}=\frac{a(q^{k+1}-1)}{q-1}\) Demonstrado! Espero ter ajudado! |
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