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| A imagem e o nucleo de uma matriz https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=10108 |
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| Autor: | karen.freitas.1865 [ 14 dez 2015, 00:45 ] |
| Título da Pergunta: | A imagem e o nucleo de uma matriz |
Seja D:V →V o operador linear que associa a cada polinômio f(x) ∊ V sua derivada f'(x). Encontre a matriz que representa o operador D na base beta \(\beta \left \{ 1,x,x^{2},...,x^{n-1} \right \}\) Então como encontrar o nucleo e a imagem dessa matriz? Vi essa resolução mas não sei como fazer... A matriz é mais ou menos assim (faltou uns pontinhos) \(\begin{bmatrix} 0& 1& 0& 0&\\ .& 0& 2& .& \\ .& .& 0& .& \\ .& .& .& n-1& \\ 0& 0& 0& 0\\ \end{bmatrix}\) |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 14 dez 2015, 15:55 ] |
| Título da Pergunta: | Re: A imagem e o nucleo de uma matriz |
Se A for essa matriz então: -D é injetiva → NucD={0} →dimNucD=0 → n(A)=0 → c(A)=nº colunas de A = DimV Ora como a primeira coluna da matriz é nula, A tem nulidade 1 ≠ 0 logo não´é injetiva -D é sobrejetiva → dim ImD=dimV → c(A)=nr linhas A= dimV Como a matriz A é uma matriz nxn e tem característica n-1≠n, então D não é sobrejetiva |
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| Autor: | Sobolev [ 14 dez 2015, 16:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: A imagem e o nucleo de uma matriz |
O núcleo de um operador corresponde aos elementos do espaço de partida que se transformam no elemento nulo no espaço de chegada. Assim, neste caso, o núcleo será constituído por todos os polinómios de grau menor ou igual que n cuja derivada é identicamente nula. O núcleo é pois constituído pelos polinómios de grau zero (constantes). Por outro lado, como qualquer polinómio de grau (n-1) pode ser escrito como a derivada de um polinómio de grau n (uma sua primitiva), vemos que a imagem do operador é justamente o espaço dos polinómios de grau menor ou igual que (n-1) (que é um subespaço do espaço dos polinómios de grau menor ou igual que n). |
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