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| Grupo de ordem dois ou tres ciclico https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=10233 |
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| Autor: | roosevelt butel [ 06 jan 2016, 16:24 ] |
| Título da Pergunta: | Grupo de ordem dois ou tres ciclico |
Mostre que todo grupo de ordem dois ou tres e ciclico |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 07 jan 2016, 22:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Grupo de ordem dois ou tres ciclico |
Uma maneira de resolver o problema sem recorrer a grande teoria é, através das tabelas de multiplicação, ver que só há um grupo de ordem 1 e um grupo de ordem 2 a menos de isomorfismo e depois verificar que ambos são cíclicos. Note que a tabela de multiplicação de um grupo é um quadrado latino (i.e. não há elementos repetidos num linha ou coluna). Outra maneira é mostrar que qualquer grupo de ordem prima (como são os casos de 2 e 3) é cíclico, usando o teorema de Lagrange. Seja \(G\) um grupo de ordem \(p\) (primo) e \(a\in G\) um elemento distinto da unidade \(e\) então, pelo teorema de Lagrange, o subgrupo de G gerado por \(a\): \(< a > =\{e,a,a^2,\dots\}\) tem ordem \(k\) que divide \(p\). Como \(k>1\) (pois \(a\not=e\)) e \(p\) é primo resulta que \(k=p\) logo \(G=<a>\) é um grupo cíclico. |
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