elementos de álgebra: provar anel

[helena]

Seja (R,+, x)uma álgebra satisfazendo todos os axiomas de anel, salvo a comutatividade da soma. Prove que necessariamente R(+, x) é um anel. Sugestão: calcule (x + y) (1 + 1) de duas formas diferentes.

[Rui Carpentier]

Usando distribuidade à esquerda, unidade e associatividade:
(x+y)(1+1)=(x+y)1 + (x+y)1 = x+y+x+y
Agora usando distribuidade à direita, distribuidade à esquerda, unidade e associatividade:
(x+y)(1+1)=x(1+1) +y(1+1)=x1+x1+y1+y1=x+x+y+y
Temos então:
x+y+x+y=x+x+y+y
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(-x)+x+y+x+y+(-y)=(-x)+x+x+y+y+(-y) => y+x=x+y (por existência de simétricos e associatividade).