Ideais, anéis e conjuntos quociente

[Gbrito]

Como determinar todos os ideais do anel produto \mathbb{Z} x \mathbb{Z}

[Rui Carpentier]

Esboço de resolução:

Seja \(I\subseteq \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\) um ideal e sejam \(\pi_1, \pi_2:\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}\) as projeções canónicas (i.e. \(\pi_1(a,b)=a\) e \(\pi_2(a,b)=b\)).

1º- \(\pi_1(I)\) e \(\pi_2(I)\) são ideais de \(\mathbb{Z}\) (exercício). Logo \(\pi_1(I)=j\mathbb{Z}\) e \(\pi_2(I)=k\mathbb{Z}\) para alguns \(j,k\in\mathbb{Z}\) (exercício).

2º- Logo \(I\subseteq j\mathbb{Z}\times k\mathbb{Z}\) (exercício).

3º- \(I= j\mathbb{Z}\times k\mathbb{Z}\) (exercício). Sugestão: \((ja,kb)=(j,x)\cdot (a,0)+(y,k)\cdot(0,b)\) com \((j,x),(y,k)\in I\).