numeros racionais: dizimas finitas e infinitas

[helena]

Sejam a e b dois números naturais com b diferente de zero e a>b, prove que necessariamente a dizima de a:b tem de se repetir(por outras palavras prove que os números racionais têm dizimas finitas ou infinitas periódicas.

[Sobolev]

Alguns factos fáceis de estabelecer:

1. Se a expansão decimal for finita, o número é racional. De facto, se \(x = x_0, x_1 x_2 \cdots x_n\), então
\(x = x_0+ \frac{x_1}{10} + \frac{x_2}{10^2}+ \cdots \frac{x_n}{10^n}\)
que, sendo uma soma finita de números racionais, é ainda um número racional.

2. Se a expansão for periódica a partir de certa ordem o número é racional. Realmente, nesse caso temos \(x = x_0, x_1 x_2 \cdots x_k (y_1 y_2 \cdots y_n) = x_0, x_1 \cdots x_k + \frac{0. (y_1 \cdots y_n)}{10^k}\), pelo que apenas temos que verificar que \(y = 0,(y_1 \cdots y_n)\) é racional, o que é imediato notando que
\(10^n y - y = y_1 y_2 \cdots y_n \Rightarrow y = \frac{y_1 y_2 \cdots y_n}{10^n-1}\).

Fica assim claro que qualquer dízima finita ou infinita periódica a partir de certa ordem é um número racional.

O que se pede é no entanto o reverso, que qualquer número racional se pode escrever como uma dizima finita ou periódica. No fundo, considerando o que disse antes, queremos ver que os racionais são exactamente os que podem ser representados por dizimas finitas ou periódicas.

[Rui Carpentier]

O facto de os racionais terem dízimas finitas ou infinitas periódicas resulta do aparentemente simples resultado:

Se \(a\) e \(b\) são dois números naturais com \(b>0\) então existem dois naturais \(q\) e \(r\), com \(r<b\), tais que \(\frac{a}{b}=q+\frac{r}{b}\)

A dízima de \(\frac{a}{b}\) constroi-se com base neste facto:
\(\frac{a}{b}=q+\frac{r}{b}=q+\frac{1}{10}\left(\frac{10r}{b}\right)=q+\frac{1}{10}\left(q_1+\frac{r_1}{b}\right)=q+\frac{q_1}{10}+\frac{1}{10^2}\left(q_2+\frac{r_2}{b}\right)=\cdots = q+\frac{q_1}{10}+\frac{q_2}{10^2}+\frac{q_3}{10^3}+\cdots\)
Observemos que em cada passo \(r_i<b\) logo \(10r_i<10b\) e portanto \(q_{i+1}<10\) (ou seja \(q_{i+1}\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) é um dígito). Temos então \(\frac{a}{b}=q,q_1q_2q_3\dots\).
Agora observemos que \(r_{i+1}\) e \(q_{i+1}\) só dependem de \(r_{i}\) (e de b que está fixo). Como cada \(r_i\) é menor que \(b\), ou seja, \(r_i\in\{0,1,\dots ,b-1\}\) haverá uma altura em os \(r_{i's}\) se repetem e a partir daí entramos em cíclo (temos uma dízima periódica). Note-se que uma dízima finita pode ser vista como uma dízima periódica com o dígito 0 a repetir-se infinitamente.

PS - Uma observação mais cuidada permite verificar que o período tem comprimento que divide b-1.