Comece por verificar se o polinómio \(p(x)=x^3-9\) tem raiz(es) em \(\mathbb{Z}_{11}\). Se tiver pelo menos uma raiz, ou seja existe \(a\in \mathbb{Z}_{11}\) tal que \(a^3\equiv 9 mod 11\) (algo que pode ser verificado à mão (exercício) calculando todos os cubos de 1 a 10), então o polinómio não é irredutível pois \(x-a\) é fator (irredutível) de \(p(x)\). O(s) outro(s) fator(es) obtem-se fazendo a divisão* de \(p(x)\) por \(x-a\) o que vai dar um polinómio mónico \(q(x)\) de grau 2. Este último será irredutível se e só se \(a\) for a única solução (simples**) de \(x^3=9\) (em \(\mathbb{Z}_{11}\) claro). Senão \(p(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\) onde \(a,b,c\in\mathbb{Z}_{11}\) são soluções (eventualmente repetidas) de \(x^3=9\).
Se \(p(x)\) não tiver raízes então é irredutível, pois se não fosse, um dos fatores teria de ser da forma \(x-a\) e então \(a\) seria raiz de \(p(x)\).
* A divisão de polinómios em \(\mathbb{Z}_{11}\) processa-se da mesma maneira que a divisão de polinómios reais (tanto mais que \(\mathbb{Z}_{11}\) é um corpo).
** Ou seja \(a\) pode ser a única raiz de p(x) mas se for múltipla q(x) não é irredutível. É o caso, \(p(x)=(x-a)^3\) e \(q(x)=(x-a)^2\).
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