Geometria analítica superfície esférica e a esfera

[Carmen]

No espaço, em relação a um referencial o.n. 0xyz, considera os pontos A(2,-1,3) e B(-3,2,-1).
Pretende-se determinar as coordenadas de um ponto C do eixo 0y de modo que o triângulo [ABC] seja isósceles.
Este problema tem cinco soluções. Determina-as.

Podem ajudar-me com este problema. Obrigado

[Sobolev]

O ponto sobre o eixo dos yy será \(C(0,y,0)\), para algum \(y \in \mathbb{R}\). Considere \(\alpha, \beta, \gamma\) os ângulos associados aos vértices \(A,B,C\), respectivamente. Então

\(\alpha = \angle (\vec{AB}, \vec{AC})\)
\(\beta= \angle (\vec{BA}, \vec{BC})\)
\(\gamma= \angle (\vec{CA}, \vec{CB})\)

\(\vec{AB} = B-A = (-5,3,-4)
\vec{AC} = C-A= (-2, y+1, -3)
\vec{BC} = C-B = (3, -2+y, 1)\)

Todos estes ângulos virão em função de y... pelo que em princípio podemos obter os valores de y resolvendo equações que correspondem a iguala-los 2 a 2.

[Sobolev]

Pensando melhor, é sem dúvida mais simples pensar na igualdade entre lados ao invés da igualdade entre angulos...

\(||\vec{AB}|| = 5 \sqrt{2}
||\vec{AC}|| = \sqrt{13+(1+y)^2}
||\vec{BC}||=\sqrt{10+(y-2)^2}\)

\(||\vec{AB}||=||\vec{AC}|| \Leftrightarrow 5 \sqrt{2} = \sqrt{13+(1+y)^2} \Leftrightarrow 50 = 13+(y+1)^2 \Leftrightarrow y =-1 \pm \sqrt{37}\)

\(||\vec{AB}||=||\vec{BC}|| \Leftrightarrow 5 \sqrt{2} = \sqrt{10+(y-2)^2}\Leftrightarrow 50 = 10+(y-2)^2 \Leftrightarrow y =2 \pm 2\sqrt{10}\)

\(||\vec{AC}||=||\vec{BC}|| \Leftrightarrow \sqrt{13+(1+y)^2} = \sqrt{10+(y-2)^2}\Leftrightarrow 13+(1+y)^2= 10+(y-2)^2 \Leftrightarrow y = 0\)