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| Geometria analítica superfície esférica e a esfera https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=10301 |
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| Autor: | Carmen [ 18 jan 2016, 21:21 ] |
| Título da Pergunta: | Geometria analítica superfície esférica e a esfera |
No espaço, em relação a um referencial o.n. 0xyz, considera os pontos A(2,-1,3) e B(-3,2,-1). Pretende-se determinar as coordenadas de um ponto C do eixo 0y de modo que o triângulo [ABC] seja isósceles. Este problema tem cinco soluções. Determina-as. Podem ajudar-me com este problema. Obrigado |
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| Autor: | Sobolev [ 19 jan 2016, 11:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Geometria analítica superfície esférica e a esfera |
O ponto sobre o eixo dos yy será \(C(0,y,0)\), para algum \(y \in \mathbb{R}\). Considere \(\alpha, \beta, \gamma\) os ângulos associados aos vértices \(A,B,C\), respectivamente. Então \(\alpha = \angle (\vec{AB}, \vec{AC})\) \(\beta= \angle (\vec{BA}, \vec{BC})\) \(\gamma= \angle (\vec{CA}, \vec{CB})\) \(\vec{AB} = B-A = (-5,3,-4) \vec{AC} = C-A= (-2, y+1, -3) \vec{BC} = C-B = (3, -2+y, 1)\) Todos estes ângulos virão em função de y... pelo que em princípio podemos obter os valores de y resolvendo equações que correspondem a iguala-los 2 a 2. |
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| Autor: | Sobolev [ 19 jan 2016, 12:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Geometria analítica superfície esférica e a esfera [resolvida] |
Pensando melhor, é sem dúvida mais simples pensar na igualdade entre lados ao invés da igualdade entre angulos... \(||\vec{AB}|| = 5 \sqrt{2} ||\vec{AC}|| = \sqrt{13+(1+y)^2} ||\vec{BC}||=\sqrt{10+(y-2)^2}\) \(||\vec{AB}||=||\vec{AC}|| \Leftrightarrow 5 \sqrt{2} = \sqrt{13+(1+y)^2} \Leftrightarrow 50 = 13+(y+1)^2 \Leftrightarrow y =-1 \pm \sqrt{37}\) \(||\vec{AB}||=||\vec{BC}|| \Leftrightarrow 5 \sqrt{2} = \sqrt{10+(y-2)^2}\Leftrightarrow 50 = 10+(y-2)^2 \Leftrightarrow y =2 \pm 2\sqrt{10}\) \(||\vec{AC}||=||\vec{BC}|| \Leftrightarrow \sqrt{13+(1+y)^2} = \sqrt{10+(y-2)^2}\Leftrightarrow 13+(1+y)^2= 10+(y-2)^2 \Leftrightarrow y = 0\) |
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