Geometria analítica perímetro de uma elipse

[Carmen]

Um jardineiro constrói um canteiro rectangular com 108m2 de área. No retângulo quer fazer uma vedação em forma de elipse, para tal fixa as extremidades de uma corda com 12 m de comprimento, a duas estacas. De quantos metros de rede irá precisar?

Podem ajudar-me? Obrigado

[Sobolev]

Este é o enunciado completo? Apenas com esta informação não é possível garantir que a elipse assim desenhada permaneça dentro do rectangulo... Mesmo esquecendo o rectangulo, a determinação do perímetro de uma elipse não pode ser feito de um modo simples a partir da medida dos semi-eixos... Estudou alguma das fórmulas de aproximação do perimetro de uma elipse?

Dos dados do problema, resulta que o eixo maior deve ter medida 12. No entanto, sem saber a distancia entre as duas estacas, não fica fixado o valor do perímetro, que poderá variar entre 24 (quando o foco se aproxima do semi-eixo maior) e \(12 \pi\) quando o foco coincide com o centro.

Podemos ainda ver como a questão da área do rectangulo vai influenciar a resposta... Se um dos lados do rectangulo tiver medida 12, o outro lado deverá medir 9 (para que a área seja 108). Deste modo, vemos que o semi-eixo menor da elipse será no máximo 4.5, o que corresponde a um foco situado a \(3 \sqrt{7}/2\) do centro. O perímetro correspondente é aproximadamente 33.1552.

A resposta, com os dados disponíveis é portanto que precisará, no máximo, de 33.1552 m de rede e no mínimo 24.

[jorgeluis]

semieixo maior:
\(a = \frac{12}{2} = 6m\)

semieixo menor:
\(b = \frac{108}{12.2} = 4,5m\)

\(c^2 = 6^2 - 4,5^2
c = 3,97m\)

excentricidade:
\(e = \frac{c}{a}
e = 0,66\)

comprimento minimo da rede:
\(L \simeq \pi.a(2-\frac{e^2}{2}-\frac{3e^4}{32}-\frac{5e^6}{128})
L \simeq 33,16m\)